Линейные комбинации пуассоновских случайных величин
Как вы уже рассчитали, момент-функция распределения Пуассона с учетом скорости равна
m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ
мИкс( t ) = E eт х= еλ ( eT- 1 ),
Теперь, давайте сосредоточимся на линейной комбинации независимых Пуассона случайных величин и Y . Пусть Z = Х + Ь Y . Тогда
m Z ( t ) = E e t Z = E e t ( a X + b YИксYZ= Х+ б Y
мZ( t ) = E eт Z= E eт ( а х+ б Y)= E eт ( а х)Е ет ( б Y)= мИкс( Т ) мY( б т ),
Итак, если имеет скорость λ x, а Y имеет скорость λ y , мы получаем
m Z ( t ) = exp ( λ x ( e a t - 1 ) ) exp ( λ y ( e b t - 1)ИксλИксYλY
И это не может, в общем, можно записать в виде ехр
мZ( т ) = опыт( λИкс( ет- 1 ) )опыт( λY( еб т- 1 ) )=exp( λИксеat+ λYебт- ( λИкс+λY) ),
при некотором
Х исключением случаевкогда
в = Ь = 1 .
ехр( λ ( eT- 1 ) )λа = б = 1
Обращение моментообразующих функций
L (s)= E e- с тTL (s)= мT( - с )sс ≥ 0
Инверсию затем можно выполнить либо через интеграл Бромвича, либо по формуле инверсии Поста . Вероятностная интерпретация последнего может быть найдена в качестве упражнения в нескольких классических вероятностных текстах.
Хотя это и не связано напрямую, вас также может заинтересовать следующее примечание.
JH Curtiss (1942), Заметка по теории производящих момент функций , Ann. Математика Стат. том 13, нет. 4, с. 430–433.
Связанная теория чаще всего развивается для характеристических функций, поскольку они являются полностью общими: они существуют для всех распределений без поддержки или ограничения момента.