Устойчиво ли распределение Пуассона и существуют ли формулы обращения для MGF?


11

Во-первых, у меня вопрос о том, является ли распределение Пуассона "стабильным" или нет. Очень наивно (и я не слишком уверен в «стабильных» распределениях), я разработал распределение линейной комбинации распределенных по Пуассону RV, используя продукт MGF. Похоже, я получаю еще один Пуассон с параметром, равным линейной комбинации параметров отдельных RV. Итак, я делаю вывод, что Пуассон является «стабильным». Что мне не хватает?

Во-вторых, существуют ли формулы обращения для MGF, как для характеристической функции?


4
Он замкнут относительно (независимых) сумм , но не произвольных линейных комбинаций. Если вы включите свою работу, я подозреваю, что вы в конечном итоге поймете, почему в процессе; и, если нет, кто-то сможет указать на это. Да, есть некоторые аналоги инверсии характеристических функций. Что вы знаете об преобразовании Лапласа и контурной интеграции Бромвича?
кардинал

Хорошо, я вернусь к чертежной доске. У меня есть MGF i-го Пуассона как: exp (lambda_i (exp (t) - 1)). Таким образом, произведение n пуассоновских MGF дает мне: exp (sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i * (exp (t) - 1)), и я беру новый lambda = sum (i, 0, n) alpha_i * lambda_i. Теперь я боюсь, что выгляжу глупо из-за очевидной ошибки. - Я знаю об преобразовании Лапласа и контурной интеграции в целом, но не об интеграции Бромвиша с контуром. - Вы бы порекомендовали работать с CF, а не с MGF в целом? Это кажется более мощным.
Фрэнк

Что такое в вашем комментарии? Кроме того, окружите ваш math-LaTeX знаками доллара, чтобы заставить его работать (используя \ exp, чтобы «exp» выглядел правильно, и \ lambda, чтобы сделать λ , \ sum для и т. Д.)αяλΣ
jbowman

Да, я не очень хорош в LaTex, но здесь идет. Итак, моя линейная комбинация RV: , и произведение их MGF равно: exp ( n i = 0
Σязнак равно0NαяИкся
, если Я правильно, если РВС распределены Р о я s s о п ( λ я )
ехр(Σязнак равно0Nαяλя(ехр(Tя)-1))
пояssоN(λя), Я использовал один и тот же t для всех RV, но мне нужно использовать . Tя
Фрэнк

5
Ошибка состоит в том, что MGF для является e x p ( λ i ( e x p ( a i t ) - 1 ) ), а не e x paяИксяеИксп(λя(еИксп(aяT)-1))еИксп(aяλя(еИксп(T)-1))
gui11aume

Ответы:


13

Линейные комбинации пуассоновских случайных величин

Как вы уже рассчитали, момент-функция распределения Пуассона с учетом скорости равна m X ( t ) = E e t X = e λ ( e t - 1 )λ

мИкс(T)знак равноЕеTИксзнак равноеλ(еT-1),

Теперь, давайте сосредоточимся на линейной комбинации независимых Пуассона случайных величин и Y . Пусть Z = Х + Ь Y . Тогда m Z ( t ) = E e t Z = E e t ( a X + b YИксYZзнак равноaИкс+бY

мZ(T)знак равноЕеTZзнак равноЕеT(aИкс+бY)знак равноЕеT(aИкс)ЕеT(бY)знак равномИкс(aT)мY(бT),

Итак, если имеет скорость λ x, а Y имеет скорость λ y , мы получаем m Z ( t ) = exp ( λ x ( e a t - 1 ) ) exp ( λ y ( e b t - 1)ИксλИксYλY И это не может, в общем, можно записать в виде ехр

мZ(T)знак равноехр(λИкс(еaT-1))ехр(λY(ебT-1))знак равноехр(λИксеaT+λYебT-(λИкс+λY)),
при некотором Х исключением случаевкогда в = Ь = 1 .ехр(λ(еT-1))λaзнак равнобзнак равно1

Обращение моментообразующих функций

L(s)знак равноЕе-sTTL(s)знак равномT(-s)ss0

Инверсию затем можно выполнить либо через интеграл Бромвича, либо по формуле инверсии Поста . Вероятностная интерпретация последнего может быть найдена в качестве упражнения в нескольких классических вероятностных текстах.

Хотя это и не связано напрямую, вас также может заинтересовать следующее примечание.

JH Curtiss (1942), Заметка по теории производящих момент функций , Ann. Математика Стат. том 13, нет. 4, с. 430–433.

Связанная теория чаще всего развивается для характеристических функций, поскольку они являются полностью общими: они существуют для всех распределений без поддержки или ограничения момента.


1
(+1) Формула обращения чисто теоретическая или в действительности она иногда используется?
gui11aume

2
@ gui11aume: используется местами; но примеры, которые вы обычно находите в тексте, обычно являются примерами, для которых вам это не нужно. :)
кардинал

Итак, по-видимому, легче работать с CF, чем с MGF? MGF не всегда существуют, верно? Зачем с ними беспокоиться?
Фрэнк

@Frank: Педагогически их легче представить студентам, которые знают исчисление, но мало или совсем не имеют опыта в сложных переменных. Когда они существуют, они имеют свойства, полностью аналогичные свойствам CF. Они играют важную роль в некоторых частях теории вероятностей и теоретической статистики, например, большие отклонения и экспоненциальный наклон.
кардинал

1
α

6

ИксИкс/2

Я не знаю формул обращения для MGF (но, кажется, @cardinal).


2
(+1) Потому что мне нравятся простые иллюстративные доказательства и контрпримеры, которые сразу же выдвигают на первый план суть дела.
кардинал

У меня вопрос по терминологии. В статистике, которую я изучал, стабильные распределения были теми границами распределений, которые удовлетворяли условию сходимости, называемому устойчивым законом. Это непрерывные ненормальные распределения. Это распределение для пределов нормированного среднего Z, но центральная предельная теорема не применяется к Z из-за хвостового поведения распределения населения. На самом деле центральная предельная теорема может принадлежать устойчивым законам, если определенный параметр альфа = 2.
Майкл Р. Черник

1
То, что вы называете здесь стабильным, ближе к суммам, которые мне кажутся больше похожими на термин бесконечно делимых. В каких областях термин стабильный используется для этого? Используется ли оно в вероятности и статистике?
Майкл Р. Черник

1
aИкс1+бИкс2сИкс+d
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.