Вкратце: симметричен, когда и имеют одинаковое распределение для некоторого действительного числа . X 2 a - X aИксИкс2 а - хa Но достижение этого вполне оправданным образом требует некоторого отступления и обобщения, потому что возникает много неявных вопросов: почему это определение «симметрично»? Могут ли быть другие виды симметрии? Какова связь между распределением и его симметриями, и, наоборот, какова связь между «симметрией» и теми распределениями, которые могут иметь эту симметрию?
Рассматриваемые симметрии являются отражением реальной линии. Все имеют форму
x → 2 a - x
для некоторой константы .a
Итак, предположим, что обладает этой симметрией хотя бы для одного . Тогда симметрия подразумеваетaИксa
Pr [ X≥ a ] = Pr [ 2 a - X≥ a ] = Pr [ X≤ а ]
показывая , что является медианной из . Аналогично, если имеет ожидание, то сразу следует, что . Таким образом , мы , как правило , можно придавить легко. Даже если нет, (и, следовательно, сама симметрия) все еще определяется однозначно (если она вообще существует).X X a = E [ X ] a aaИксИкс= Е[ X]aa
Чтобы увидеть это, пусть будет любым центром симметрии. Затем, применяя обе симметрии, мы видим, что инвариантно относительно перевода . Если , распределение должно иметь период , что невозможно, поскольку полная вероятность периодического распределения равна или бесконечна. Таким образом, , показывая, что уникально.X x → x + 2 ( b - a ) b - a ≠ 0 X b - a 0 b - a = 0 aбИкс х → х + 2 ( б - а )б - а ≠ 0Иксб- а0б - а =0a
В более общем смысле, когда является группой, действующей точно на действительной прямой (и, следовательно, на всех ее борелевских подмножествах), мы можем сказать, что распределение является «симметричным» (относительно ), когдаграммИксграмм
Pr [ XЕ Е] = Pr [ XЕ Еграмм]
для всех измеримых множеств и элементов , где обозначает образ под действием .g ∈ G E g EЕграмм∈ GЕграммЕграмм
В качестве примера, пусть прежнему является группой порядка , но теперь пусть ее действие состоит в том, чтобы взять обратную величину действительного числа (и позволить ей исправить ). Стандартное логнормальное распределение симметрично относительно этой группы. Этот пример можно понимать как пример симметрии отражения, где имеет место нелинейное повторное выражение координат. Это предлагает сосредоточиться на преобразованиях, которые уважают «структуру» реальной линии. Структура, существенная для вероятности, должна быть связана с борелевскими множествами и мерой Лебега, которые могут быть определены в терминах (евклидова) расстояния между двумя точками.2 0грамм20
Карта, сохраняющая расстояние, по определению является изометрией. Хорошо известно (и легко, хотя и немного сложно, чтобы продемонстрировать), что все изометрии реальной линии генерируются отражениями. Следовательно, когда понимается, что «симметричный» означает симметричный относительно некоторой группы изометрий , группа должна генерироваться не более чем одним отражением, и мы видели, что отражение однозначно определяется любым симметричным распределением по отношению к нему. В этом смысле предыдущий анализ является исчерпывающим и оправдывает обычную терминологию «симметричных» распределений.
Между прочим, множество многовариантных примеров распределений, инвариантных относительно групп изометрий, дается при рассмотрении «сферических» распределений. Они инвариантны относительно всех вращений (относительно некоторого неподвижного центра). Они обобщают одномерный случай: «вращения» реальной линии - это просто отражения.
Наконец, стоит отметить, что стандартная конструкция - усреднение по группе - дает способ производить множество симметричных распределений. В случае действительной прямой пусть порождается отражением вокруг точки , так что оно состоит из единичного элемента и этого отражения . Пусть - любое распределение. Определите распределение , установивa e g XGaegXY
PrY[E]=1|G|∑g∈GPrX[Eg]=(PrX[E]+PrX[Eg])/2
для всех борелевских . Это явно симметрично, и легко проверить, что оно остается распределением (все вероятности остаются неотрицательными, а полная вероятность равна ).1E1
Иллюстрируя процесс усреднения групп, PDF симметризованного гамма-распределения (с центром при ) показан золотом. Оригинальная гамма синего цвета, а ее отражение - красного.a=2