В нетехнических терминах коллектор - это непрерывная геометрическая структура, имеющая конечное измерение: прямая, кривая, плоскость, поверхность, сфера, шар, цилиндр, тор, «капля» ... что-то вроде этого :
Это общий термин, используемый математиками, чтобы сказать «кривая» (измерение 1) или «поверхность» (измерение 2), или трехмерный объект (измерение 3) ... для любого возможного конечного измерения . Одномерное многообразие - это просто кривая (линия, круг ...). Двумерное многообразие - это просто поверхность (плоскость, сфера, тор, цилиндр ...). Трехмерное многообразие - это «полный объект» (шар, полный куб, трехмерное пространство вокруг нас ...).N
Многообразие часто описывается уравнением: множество точек таких как x 2 + y 2 = 1, является одномерным многообразием (круг).( х , у)Икс2+ у2= 1
Многообразие везде одинаково. Например, если вы добавляете линию (измерение 1) к сфере (измерение 2), то получающаяся геометрическая структура не является многообразием.
В отличие от более общих понятий метрического пространства или топологического пространства, также предназначенных для описания нашей естественной интуиции непрерывного набора точек, многообразие предназначено для того, чтобы быть чем-то локально простым: подобно векторному пространству конечной размерности: . Это исключает абстрактные пространства (например, бесконечные пространства измерений), которые часто не имеют геометрического конкретного значения.Rn
В отличие от векторного пространства, многообразия могут иметь различные формы. Некоторые многообразия можно легко визуализировать (сфера, шар ...), некоторые трудно визуализировать, например, бутылку Клейна или реальную проективную плоскость .
В статистике, машинном обучении или прикладной математике в целом слово «многообразие» часто используется для обозначения «как линейное подпространство», но, возможно, изогнутое. Каждый раз, когда вы пишете линейное уравнение, например: вы получаете линейное (аффинное) подпространство (здесь плоскость). Обычно, когда уравнение нелинейно, как3x+2y−4z=1x2+2y2+3z2=7
Например, « гипотеза многообразияx2+y2=1