Разложение нормального распределения

Существует ли только положительное распределение, так что разность двух независимых выборок из этого распределения обычно распределена? Если так, имеет ли это простую форму?

distributions probability

— Мартин О'Лири
источник

Интересный вопрос! Нормальное распределение является бесконечно разложимым, то есть вы всегда можете записать его как распределение суммы

произвольного числа

случайных величин. Но это не вопрос.

x_{1} + \dots + x_{n}

$x_1+\ldots+x_n$

n

$n$

— Сиань

Если вы дойдете до функции, генерирующей момент, вопрос в том, будет ли

позволяет найти решение (в

), которое является функцией, порождающей моменты положительной переменной ...

e^{t μ + \frac{1}{2} σ^{2} t^{2}} = φ (t) φ (- t)

$e^{t\mu + \frac{1}{2}\sigma^2t^2}=\varphi(t)\varphi(-t)$

φ

$\varphi$

— Сиань

Вы правы, @Dilip: разница полунормалей не имеет нормального распределения. Проблема не в дисперсии разницы: сама форма распределения не является нормальной (ее эксцесс слишком велик).

— whuber

Хотя это очевидно, стоит отметить, что это утверждение является приблизительно правильным. В конце концов, разница в

переменной и

переменной имеет

распределения и, выбирая

достаточно большим, мы можем сделать вероятность того, что любая из этих переменных будет отрицательной, так мала, как хотелось бы.

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (μ, σ^{2} / 2)

$N(\mu,\sigma^2/2)$

N (0, σ^{2})

$N(0,\sigma^2)$

μ

$\mu$

— whuber

Ответ на вопрос - нет, и это следует из известной характеристики нормальных распределений.

Предположим, что и - независимые случайные величины. Тогда так же и независимых случайных величин, и, конечно, мы можем записать как , сумма двух независимых случайных величин. Теперь, согласно теореме, предположенной П. Леви и доказанной Г. Крамером (см. Феллер, глава XV.8, теорема 1), $X$ $Y$ $X$ $-Y$ $X-Y$ $X + (-Y)$

Если и являются независимыми случайными величинами, а нормально распределен, то и и нормально распределены. $X$ $Y$ $X+Y$ $X$ $Y$

$X$ $Y$ $X-Y$ $X-Y = X + (-Y)$ $X$ $-Y$

— Дилип Сарватэ
источник

Я немного надеялся, что ответ будет положительным, но спасибо! У меня нет свободного доступа к копии Феллера - можно ли набросать доказательство теоремы? Это кажется довольно нелогичным.

— Мартин О'Лири

Даже Феллер не включает в себя оригинальное доказательство, утверждающее, что оно основано на теории аналитических функций и, таким образом, весьма отличается от его подхода к характеристическим функциям.

— Дилип Сарвейт

Я думал, что это так, но это открывает дверь для зависимых переменных. Я пытался найти способ построить зависимость между 2 положительными половинными нормами, но не смог заставить ее работать.

— Майкл Р. Черник

ну, может быть, кто-то должен был бы меня больше интересовать, пытаясь решить эту проблему

— Майкл Р. Черник

Я задам этот вопрос, и тогда вы сможете изложить свой ответ. Я не совсем понимаю, как выглядит эта плотность суставов, а вы принимаете Z = | X | - | Y |?

— Майкл Р. Черник