В чем разница / связь между методом моментов и GMM?

Может ли кто-нибудь объяснить мне разницу между методом моментов и GMM (общий метод моментов), их взаимоотношениями и когда следует использовать один или другой?

И MOM, и GMM являются очень общими методами оценки параметров статистических моделей. GMM - как следует из названия - обобщение MOM. Он был разработан Ларсом Питером Хансеном и впервые опубликован в Econometrica [1]. Поскольку существует множество учебников по этому предмету (например, [2]), я полагаю, что вам нужен нетехнический ответ здесь.

Традиционный или классический метод оценки моментов

Оценщик MOM является последовательным, но неэффективным оценщиком. Предположим вектор данных y, которые были сгенерированы распределением вероятностей, индексированным вектором параметров theta с k элементами. В методе моментов тета оценивается путем вычисления k выборочных моментов у, установления их равными моментам населенности, полученным из предполагаемого распределения вероятностей, и решения для тета. Например, момент заселенности mu является ожиданием y, тогда как момент выборки mu является средним значением выборки y. Вы бы повторили это для каждого из k элементов тэты. Поскольку выборочные моменты, как правило, являются последовательными оценками популяционных моментов, тета-шляпа будет последовательной для тета.

Обобщенный метод моментов

В приведенном выше примере у нас было такое же количество моментных условий, что и у неизвестных параметров, поэтому все, что мы должны были бы сделать, это решить k уравнений в k неизвестных для получения оценок параметров. Хансен спросил: что происходит, когда у нас больше моментов, чем параметров, как это обычно бывает в эконометрических моделях? Как мы можем объединить их оптимально? Это цель оценки GMM. В GMM мы оцениваем вектор параметров, минимизируя сумму квадратов разностей между моментами заселения и моментами выборки, используя дисперсию моментов в качестве метрики. Это минимальная оценка дисперсии в классе оценок, которые используют эти условия момента.

[1] Хансен Л.П. (1982): Свойства больших образцов обобщенного метода оценки моментов, Econometrica , 50, 1029-1054.

[2] Холл, АР (2005). Обобщенный метод моментов (расширенные тексты в эконометрике). Издательство Оксфордского университета