Почему в латинских квадратах строки, обработки и столбцы называются ортогональными

Я всегда слышал «ортогональность» в области геометрии (обратите внимание, я не являюсь носителем английского языка). Я не понимаю следующее для латинских квадратов (цитата из учебника):

Каждое лечение (ABCD) появляется один раз в каждом ряду. Следовательно, процедуры и ряды являются ортогональными. ... Строки и столбцы ортогональны к лечению.

$$\begin{matrix}\,&1&2&3&4\\1&A&B&C&D\\2&B&C&D&A\\3&C&D&A&B\\4&D&A&B&C\end{matrix}$$

Что здесь подразумевается под ортогональностью?

что это значит или что делает латинский квадрат

Ортогональность столбцов и строк j означает, что их эффект удаляется из ожидаемых значений для некоторой обработки k (A, B, C, D).$i$$j$$k$

Смотрите формулу (для модели без перекрестных эффектов)

$Y_{ijk} = \alpha + c_i + r_j + \beta_k + \epsilon_{ijk}$

чье ожидание для определенного уровня (A, B, C или D) становится следующим$k$

$E(Y_{ijk} \vert k) = \alpha + \beta_k$

при условии, что обработка не коррелирует (ортогональна) со строками и столбцами.

обработка для A (и аналогично для B, C и D) проверяется одинаковое количество раз в каждом ряду, поэтому вы можете исключить (усреднить) влияние ряда на ожидаемое значение обработки A.

ортогональность

Я не уверен, что это происхождение этимологии, но это то, что я представляю с ортогональностью

В примере у вас есть следующие тесты (столбец, строка, обработка):

1,1,A
1,2,B
1,3,C
1,4,D
2,1,B
2,2,C
2,3,D
2,4,A
3,1,C
3,2,D
3,3,B
3,4,A
4,1,D
4,2,A
4,3,B
4,4,C

$M$$M^TM$

$(1,1,1,1,2,2,2,2,3,3,3,3,4,4,4,4) \cdot (A,B,C,D,B,C,D,A,C,D,A,B,D,A,B,C) = (1+2+3+4)(A+B+C+D) = 16 \mu_i \mu_j$

и это свойство может быть связано с ортогональностью столбцов в матрице