Почему функция стоимости нейронных сетей невыпуклая?

Здесь есть похожая тема ( функция стоимости нейронной сети невыпуклая? ), Но я не смог понять суть вопросов в ответах и мою причину повторного запроса, надеясь, что это прояснит некоторые проблемы:

Если я использую функцию суммы квадратов разницы стоимости, я в конечном итоге оптимизирую что-то в форме где - фактическое значение метки во время обучения phase и - это прогнозируемое значение метки. Поскольку это имеет квадратную форму, это должна быть выпуклая функция стоимости. Так что же может сделать его невыпуклым в NN? $\Sigma_{i=1}^{N}(y_i - \hat{y_i})^2$ $y$ $\hat{y}$

— Лука
источник

тривиально, это потому что , и вообще нет никаких гарантий, что произвольная функция будет выпуклой

\hat{y} = f (x)

$\hat{y} = f(x)$

— generic_user

действительно выпуклый в . Но если не может быть выпуклым в , что ситуация с большинством нелинейных моделей, и мысамом деле заботятся о выпуклости в , потому что это точто мы оптимизации функции затрат над. $\sum_i (y_i- \hat y_i)^2$ $\hat y_i$ $\hat y_i = f(x_i ; \theta)$ $\theta$ $\theta$

Например, давайте рассмотрим сеть с 1 скрытым слоем блоков и линейным выходным слоем: наша функция затрат , где и (и я опускаю смещающие члены для простоты). Это не обязательно выпукло, если рассматривать как функцию от $N$

г (α, W) знак равно \underset{я}{Σ} {(Y_{я} - α_{я} σ (W {Икс}_{я}))}^{2}

$g(\alpha, W) = \sum_i \left(y_i - \alpha_i\sigma(Wx_i)\right)^2$

x_{i} \in R^{p}

$x_i \in \mathbb R^p$

W \in R^{N \times p}

$W \in \mathbb R^{N \times p}$

(α, W)

$(\alpha, W)$ (в зависимости от

: если используется линейная функция активации, то она все еще может быть выпуклой). И чем глубже наша сеть, тем менее выпуклые вещи.

σ

$\sigma$

$h : \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$ $h(u, v) = g(\alpha, W(u, v))$ $W(u,v)$ $W$ $W_{11}$ $u$ $W_{12}$ $v$

$n=50$ $p=3$ $N=1$ $x$ $y$ $\mathcal N(0,1)$

Вот код R, который я использовал для создания этого рисунка (хотя некоторые параметры сейчас имеют немного отличающиеся значения, чем когда я его сделал, поэтому они не будут идентичны):

costfunc <- function(u, v, W, a, x, y, afunc) {
  W[1,1] <- u; W[1,2] <- v
  preds <- t(a) %*% afunc(W %*% t(x))
  sum((y - preds)^2)
}

set.seed(1)
n <- 75  # number of observations
p <- 3   # number of predictors
N <- 1   # number of hidden units


x <- matrix(rnorm(n * p), n, p)
y <- rnorm(n)  # all noise
a <- matrix(rnorm(N), N)
W <- matrix(rnorm(N * p), N, p)

afunc <- function(z) 1 / (1 + exp(-z))  # sigmoid

l = 400  # dim of matrix of cost evaluations
wvals <- seq(-50, 50, length = l)  # where we evaluate costfunc
fmtx <- matrix(0, l, l)
for(i in 1:l) {
  for(j in 1:l) {
    fmtx[i,j] = costfunc(wvals[i], wvals[j], W, a, x, y, afunc)
  }
}

filled.contour(wvals, wvals, fmtx,plot.axes = { contour(wvals, wvals, fmtx, nlevels = 25, 
                                           drawlabels = F, axes = FALSE, 
                                           frame.plot = FALSE, add = TRUE); axis(1); axis(2) },
               main = 'NN loss surface', xlab = expression(paste('W'[11])), ylab = expression(paste('W'[12])))

— JLD
источник

Фантастический ответ; Я думаю, что независимо от функций активации, мы всегда можем найти некоторую перестановку весов / скрытых единиц, что обычно означает невыпуклость

— information_interchange

@information_interchange спасибо, и я думаю, что вы абсолютно правы, ответ, который ОП также связал с разговорами об этом подходе

— JDD

отличный ответ, но если мы будем использовать MAE вместо MSE, я не понимаю, почему она будет невыпуклой, состав выпуклой и неубывающей функций выпуклый, поэтому если у нас MAE, у нас все равно должна быть выпуклая функция относительно W.

— Panda