Когда подходят логарифмические шкалы?

Я читал, что использование логарифмических масштабов при построении графиков / графиков целесообразно в определенных обстоятельствах, например, по оси Y в диаграмме временных рядов. Тем не менее, я не смог найти однозначного объяснения, почему это так, или когда это было бы уместно. Пожалуйста, имейте в виду, что я не статистик, поэтому я могу вообще упустить момент, и если это так, я был бы признателен за направление к исправительным ресурсам.

Это очень интересный вопрос, о котором мало кто задумывается. Существует несколько разных способов, которые могут подходить для масштаба журнала. Первое и наиболее известное упомянутое Макро в его комментарии: логарифмические шкалы позволяют отображать большой диапазон без сжатия небольших значений в нижней части графика.

Другая причина предпочтения масштабирования журналов заключается в обстоятельствах, когда данные более естественно выражаются геометрически. Например, когда данные представляют концентрацию биологического медиатора. Концентрации не могут быть отрицательными, а изменчивость почти всегда масштабируется со средним значением (т. Е. Существует гетероскедастическая дисперсия). Используя логарифмическую шкалу или, что эквивалентно, используя логарифмическую концентрацию в качестве первичной, мера «фиксирует» неравномерную изменчивость и дает шкалу, которая не ограничена на обоих концах. Концентрации, вероятно, распределены по логарифмически нормальному закону, поэтому логарифмическое масштабирование дает нам очень удобный результат, который, возможно, является «естественным». В фармакологии мы используем логарифмическую шкалу для концентраций лекарств гораздо чаще, чем нет,

Еще одна веская причина для масштабирования журналов, вероятно, та, которая вас интересует для данных временных рядов, связана с возможностью масштабирования журналов делать эквивалентные дробные изменения. Представьте себе отображение долгосрочных результатов ваших пенсионных инвестиций. Он (должен) расти примерно по экспоненте, потому что завтрашний интерес зависит от сегодняшних инвестиций (грубо говоря). Таким образом, даже если показатели в процентном отношении были довольно постоянными, график фондов, по-видимому, рос быстрее всего с правой стороны. В логарифмическом масштабе постоянное процентное изменение рассматривается как постоянное вертикальное расстояние, поэтому постоянная скорость роста рассматривается как прямая линия. Это часто является существенным преимуществом.

Еще одна немного более эзотерическая причина выбора логарифмической шкалы возникает в обстоятельствах, когда значения могут быть разумно выражены как x или 1 / x. Примером из моих собственных исследований является сосудистое сопротивление, которое также может быть разумно выражено как обратная сосудистая проводимость. (В некоторых обстоятельствах также целесообразно думать о диаметре кровеносных сосудов, которые масштабируются как сила сопротивления или проводимости.) Ни одна из этих мер не имеет большей реальности, чем другая, и обе они могут быть найдены в исследовательских работах. Если они масштабируются логарифмически, то они просто отрицательны друг от друга, и выбор того или другого не имеет существенных различий. (Диаметр сосудов будет отличаться от сопротивления и проводимости постоянным множителем, когда все они будут масштабированы.)

Несколько примеров из реальной жизни, которые я должен был передать как дополнение к очень хорошему ответу @Michael Lew.

Во-первых, на двух графиках временных рядов ниже показаны ежемесячные прибытия посетителей в Новую Зеландию, доступные из Статистического управления Новой Зеландии . Оба графика имеют свое назначение, но я считаю, что график с вертикальной осью в логарифмическом масштабе чрезвычайно полезен для многих других целей, чем первый. Например, вы можете видеть, что сезонность в прибывающих остается примерно пропорциональной шкале прибытий; и вы можете увидеть значительные изменения в темпах роста (например, во время второй мировой войны), которые просто невидимы в первоначальном масштабе.

Во-вторых, на графиках ниже показаны общие расходы туристов, связанных с поездками в Новую Зеландию, по сравнению с расходами, когда они фактически находятся в Новой Зеландии. Источник - Международный опрос посетителей Министерства экономического развития. Разница - это расходы перед поездкой, например, отели или пакеты, оплаченные заранее. Первый график в исходном масштабе может использоваться для нескольких целей, кроме очень грубого (но важного) представления о данных, сгруппированных в левом нижнем углу. Второй график приносит в жертву некоторую непосредственную интерпретируемость, особенно для нестатиков (из-за этого я обычно теперь фактически использую логарифмическую шкалу по осям, а не преобразую данные и имею шкалу, показывающую логарифмическое значение), но дает много больше визуальной дифференциации.

Например, вы можете четко определить несколько выбросов (которые оказались ошибками при редактировании данных), в которых общие расходы были меньше, чем в Новой Зеландии. Возможно, более важно то, что вы могли бы использовать этот график с разными цветами или фасеткой, чтобы показать, как разные страны рынка или цель посещения (например, отпуск против посещения друзей и семьи) занимают разные части расходного «пространства» - то, что было бы просто невидимым на оригинальных осях.

Чтобы превратить этот график во что-то полезное, потребуется как-то работать с данными с высокой плотностью (например, путем добавления некоторой прозрачности к точкам или замены точек на гексагональные ячейки, окрашенные в соответствии с плотностью), но любое полезное визуальное решение почти наверняка будет включать логарифмические оси.

редактировать / дополнять

Еще один график, чтобы проиллюстрировать, что я имел в виду под гексагональными ячейками, используя цвет для представления плотности при большом наборе данных (в данном случае около 12000 респондентов в опросе об опыте Кубка мира по регби в Новой Зеландии). Обратите внимание, это еще один пример, где я использовал логарифмическую шкалу для расходов.

Еще одна изящная вещь в логарифмических масштабах - это то, что они делают симметрии отношения Например, вот так: