Сумма экспоненциальных случайных величин следует за гаммой, спутанной с параметрами

Я узнал, что сумма экспоненциальных случайных величин следует за гамма-распределением.

Но везде, где я читаю, параметризация отличается. Например, Wiki описывает отношения, но не говорит, что на самом деле означают их параметры? Форма, масштаб, скорость, 1 / скорость?

Экспоненциальное распределение: ~ $x$ $exp(\lambda)$

f (x | λ) = λ e^{- λ x}

$f(x|\lambda )=\lambda {{e}^{-\lambda x}}$

E [x] = 1 / λ

$E[x]=1/ \lambda$

v a r (x) = 1 / λ^{2}

$var(x)=1/{{\lambda}^2}$

Распределение гаммы: $\Gamma(\text{shape}=\alpha, \text{scale}=\beta)$

f (x | α, β) = \frac{1}{β^{α}} \frac{1}{Γ (α)} x^{α - 1} e^{- \frac{x}{β}}

$f(x|\alpha ,\beta )=\frac{1}{{{\beta }^{\alpha }}}\frac{1}{\Gamma (\alpha )}{{x}^{\alpha -1}}{{e}^{-\frac{x}{\beta }}}$

E [x] = α β

$E[x]=\alpha\beta$

v a r [x] = α β^{2}

$var[x]=\alpha{\beta}^{2}$

В этой настройке что такое ? Какой будет правильная параметризация? Как насчет расширения этого на хи-квадрат? $\sum\limits_{i=1}^{n}{{{x}_{i}}}$

distributions probability gamma-distribution

— Эдвин
источник

В качестве приблизительного эмпирического правила, вероятностники склонны использовать для обозначения гамма-распределения со средним значением (то есть то время как статистики обычно используют для обозначения случайной величины Gamma со средним значением , а не как у вас. Википедия описывает оба соглашения.

Γ (t, λ)

$\Gamma(t,\lambda)$

\frac{t}{λ}

$\frac{t}{\lambda}$

f (x) = \frac{λ}{Γ (t)} \cdot (λ x)^{t - 1} \exp (- λ x) 1_{(0, \infty)}

$f(x) = \frac{\lambda}{\Gamma(t)}\cdot (\lambda x)^{t-1}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{(0,\infty)}$

Γ (α, β)

$\Gamma(\alpha,\beta)$

α β

$\alpha\beta$

α / β

$\alpha/\beta$

— Дилип Сарват,

извини, ты прав.

— Эдвин

Два совета: 1. не забудьте проверить согласованность размерности. (например, имеет ли параметр одинаковую размерность или его рециклический ...?) 2. поскольку здесь параметр гаммы является целым числом, может быть немного проще использовать простые факториалы и распределение Эрланга (из Конечно, это то же самое)

x

$x$

— leonbloy

@edwin Так что, пожалуйста, отредактируйте свой вопрос, чтобы исправить выражения для среднего и дисперсии.

— Дилип Сарватэ

@DilipSarwate отредактировано!

— Эдвин

Ответы:

Сумма независимых гамма-случайных величин является гамма-случайной величиной . Не имеет значения, что означает второй параметр (масштаб или обратный масштаб), если все случайных величин имеют одинаковый второй параметр. Эта идея легко распространяется на случайных величин, которые являются частным случаем гамма-случайных величин. $n$ $\sim \Gamma(t_i, \lambda)$ $\sim \Gamma\left(\sum_i t_i, \lambda\right)$ $n$ $\chi^2$

— Дилип Сарватэ
источник

Что меня смущает, так это то, что некоторые книги пишут

где

- скорость, в то время как другие - 1 / скорость. Есть ли последовательная запись? Если я не увижу PDF, я не буду знать, что они имеют в виду.

e x p (λ)

$exp(\lambda)$

λ

$\lambda$

— Эдвин

Если вы думаете, что это сбивает с толку, подождите, пока вы столкнетесь с нормальными случайными переменными. Есть по крайней мере , три различные интерпретации из

статистикам использовать.

X \sim N (μ, s)

$X \sim N(\mu,s)$

— Дилип Сарвейт

LOL, это просто разрушает невинные души, которые хотят изучать предмет. Я лично считаю, что это просто плохо написано со стороны автора, и в то же время я согласен, что мне нужно адаптировать способность обнаруживать неправильные вещи. Но все же, не тогда, когда я делаю шаги ребенка.

— Эдвин

Ну что ж, как автор Ответа на другой вопрос, я разочарован тем, что вы думаете, что этот ответ написан плохо. Предложения по его улучшению приветствуются.

— Дилип Сарватэ

Я не ссылаюсь на вашу ссылку.

— Эдвин

Сумма экспоненциальных распределений со шкалой (скорость ) имеет гамма-распределение с формой и шкалой (скорость ). $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$ $n$ $\theta$ $\theta^{-1}$

— Нил Г
источник

$f(x|\lambda)=\lambda e^{−\lambda x}$ $\sum_n x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$ $X_i$

f (x | α, β) = \frac{β^{α}}{Γ (α)} \cdot x^{α - 1} \cdot e^{- x β}

$f(x|\alpha,\beta)=\frac{\beta^α}{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha−1} \cdot e^{−x\beta}$

— hasanmisaii
источник

Я отформатировал математическую часть вашего ответа. Пожалуйста, проверьте, если это все еще то, что вы хотели выразить.

— Энди

\sum x_{i} \sim Gamma (n, λ)

$\sum x_i \sim \text{Gamma}(n,\lambda)$

x_{i}

$x_i$