Каково распределение вероятностей этой случайной суммы неидеальных переменных Бернулли?

9

Я пытаюсь найти вероятностное распределение суммы случайного числа переменных, которые не распределены одинаково. Вот пример:

Джон работает в колл-центре обслуживания клиентов. Он получает звонки с проблемами и пытается их решить. Те, кого он не может решить, он передает их своему начальнику. Предположим, что количество вызовов, которые он получает за день, соответствует распределению Пуассона со средним значением . Сложность каждой проблемы варьируется от довольно простых вещей (с которыми он может определенно иметь дело) до очень специализированных вопросов, которые он не знает, как решить. Предположим , что вероятность , что он будет в состоянии решить я -ю проблему следует бета - распределение с параметрами и и не зависит от предыдущих проблем. Какое распределение звонков он решает за день? $\mu$ $p_i$ $\alpha$ $\beta$

Более формально я имею:

для $Y = I(N > 0)\sum_{i = 0}^{N} X_i$ $i = 0, 1, 2, ..., N$

где , и $N \sim \mathrm{Poisson}(\mu)$ $(X_i | p_i) \sim \mathrm{Bernoulli}(p_i)$ $p_i \sim \mathrm{Beta}(\alpha, \beta)$

Обратите внимание, что сейчас я рад предположить, что независимы. Я также согласился бы с тем, что параметры и не влияют друг на друга, хотя в реальном примере этого, когда велико, параметры и таковы, что бета-распределение имеет большую массу при низком успехе. ставки . Но давайте пока проигнорируем это. $X_i$ $\mu, \alpha$ $\beta$ $\mu$ $\alpha$ $\beta$ $p$

Я могу рассчитать но это все. Я также могу смоделировать значения, чтобы получить представление о том, как выглядит распределение (оно выглядит как Пуассон, но я не знаю, доходит ли это до чисел и я пробовал, или обобщает, и как оно может измениться для разных значений параметров). Любая идея о том, что это за распределение или как я мог бы получить его? $P(Y = 0)$ $Y$ $\mu, \alpha$ $\beta$

Обратите внимание, что я также разместил этот вопрос на форуме TalkStats, но я подумал, что он может привлечь больше внимания здесь. Извиняюсь за перекрестную рассылку и большое спасибо заранее за ваше время.

EDIT : Как выясняется (см очень полезные ответы ниже - и спасибо за те!), Это действительно распределение, о чем я догадывался, основываясь на своей интуиции и некоторых моделях, но не смог доказать. Что я теперь найти неожиданные однако, заключаетсятомчто распределение Пуассона зависит только от среднего значенияраспределениино не зависит от ее дисперсии. $\mathrm{Poisson}(\frac{\mu\alpha}{\alpha + \beta})$ $\mathrm{Beta}$

Например, следующие два бета-распределения имеют одинаковое среднее значение, но разную дисперсию. Для ясности синий pdf представляет собой а красный - . $\mathrm{Beta}(2, 2)$ $\mathrm{Beta}(0.75, 0.75)$

Тем не менее, они оба результата в том же распределения , которое, мне кажется слегка нелогичным. (Не сказать, что результат неправильный, просто удивительно!) $\mathrm{Poisson}(0.5\mu)$

probability distributions random-variable

— Константинос
источник

Для фиксированного

есть распределение Пуассона-бинома, но ваша проблема сложнее, чем эта.

N

$N$

— Тим

Спасибо, я знаю о распределении Пуассона-бинома, но

здесь случайное.

N

$N$

— Константинос

Вы могли бы взглянуть на составное Пуассона , но вам, возможно, придется поработать с нулями, чтобы сделать это полезным

— Glen_b -Reinstate Monica

6

$X_i$ $N$ $X_i = 1$ $X_i = 0$ $1$ $X_i = 1$ $p$ $1$ $p\mu$ , На самом деле это так, нам просто необходим дополнительный шаг, чтобы добраться туда.

$p_i$

P r (X_{i} | α, β) = \int_{0}^{1} p_{i}^{X_{i}} (1 - p_{i})^{1 - X_{i}} \frac{p_{i}^{α - 1} (1 - p_{i})^{β - 1}}{B (α, β)} d p_{i} = \frac{B (X_{i} + α, 1 - X_{i} + β)}{B (α, β)}

$\mathrm{Pr}(X_i|\alpha, \beta) = \int_0^1 p_i^{X_i} (1-p_i)^{1-X_i} \frac{p_i^{\alpha-1} (1-p_i)^{\beta-1}}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)} dp_i = \frac{\mathcal{B}(X_i + \alpha, 1 - X_i + \beta)}{\mathcal{B}(\alpha, \beta)}$

$\mathcal{B}(a, b) = \frac{\Gamma(a)\Gamma(b)}{\Gamma(a + b)}$ $\Gamma(x+1) = x\Gamma(x)$

P r (X_{i} = 1 | α, β) = \frac{Γ (1 + α) Γ (β)}{Γ (1 + α + β)} \frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)} = \frac{α}{α + β}

$\mathrm{Pr}(X_i = 1|\alpha, \beta) = \frac{\Gamma(1+\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(1+\alpha+\beta)} \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} = \frac{\alpha}{\alpha+\beta}$

X_{i} \sim B e r n o u l l i (\frac{α}{α + β})

$X_i \sim \mathrm{Bernoulli}(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})$

Y

$Y$

\frac{α μ}{α + β}

$\frac{\alpha \mu}{\alpha+\beta}$

Числовой пример (с R) ... на рисунке вертикальные линии взяты из симуляции, а красные точки - это pmf, полученный выше:

draw <- function(alpha, beta, mu) 
{ N <- rpois(1, mu); p = rbeta(N, alpha, beta); sum(rbinom(N, size=1, prob=p)) }

pmf <- function(y, alpha, beta, mu)
  dpois(y, alpha*mu/(alpha+beta))

y <- replicate(30000,draw(4,5,10))
tb <- table(y)

# simulated pmf
plot(tb/sum(tb), type="h", xlab="Y", ylab="Probability")
# analytic pmf
points(0:max(y), pmf(0:max(y), 4, 5, 10), col="red")

— Нейт Папа
источник

3

$p_i$ $\operatorname{Beta}(\alpha,\beta)$ $\mathbb{E}[p_i]= \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $i$
$\mu$ $\dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}$ $\dfrac{\mu\alpha}{\alpha+\beta}$
$\mathbb{P}(Y=0) = e^{-{\mu\alpha}/({\alpha+\beta})}$

— Генри
источник