В чем разница между PCA и асимптотическим PCA?

В двух статьях в 1986 и 1988 годах Коннор и Корайчик предложили подход к моделированию доходности активов. Поскольку у этих временных рядов обычно больше активов, чем наблюдений за временными периодами, они предложили провести PCA по поперечным ковариациям доходности активов. Они называют этот метод Асимптотическим анализом главных компонентов (APCA, что довольно запутанно, поскольку аудитория сразу думает об асимптотических свойствах PCA).

Я разработал уравнения, и эти два подхода кажутся численно эквивалентными. Конечно, асимптотика различна, поскольку сходимость доказана для а не . Мой вопрос: кто-нибудь использовал APCA и сравнивал с PCA? Есть ли конкретные различия? Если да, то какие?$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Там нет абсолютно никакой разницы.

Нет абсолютно никакой разницы между стандартным PCA и тем, что C & K предложило и назвало «асимптотическим PCA». Довольно нелепо давать ему отдельное имя.

Вот краткое объяснение PCA. Если центрированные данные с выборками в строках хранятся в матрице данных , то PCA ищет собственные векторы ковариационной матрицы и проецирует данные на эти собственные векторы для получения главных компонент. Эквивалентно, можно рассмотреть матрицу Грама, . Легко видеть, что он имеет точно такие же собственные значения, а его собственные векторы являются масштабированными ПК. (Это удобно, когда количество образцов меньше количества функций.)$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Мне кажется, что C & K предложил вычислить собственные векторы матрицы Грама, чтобы вычислить главные компоненты. Ну вау Это не «эквивалент» PCA; она является PCA.

Чтобы добавить к путанице, название «асимптотический PCA», кажется, относится к его связи с факторным анализом (FA), а не к PCA! Оригинальные документы C & K находятся под платным доступом , поэтому вот цитата из Цай, Анализ финансовых временных рядов, доступной в Google Книгах:

$k$$\to \infty$

$k \to \infty$

• Есть ли веская причина использовать PCA вместо EFA? Кроме того, может ли PCA заменить факторный анализ?
• При каких условиях PCA и FA дают одинаковые результаты?

Итак, суть заключается в следующем: C & K решил использовать термин «асимптотический PCA» для стандартного PCA (который также можно назвать «асимптотическим FA»). Я бы пошел так далеко, чтобы рекомендовать никогда не использовать этот термин.

Обычно APCA используется, когда есть много серий, но очень мало образцов. Я бы не назвал APCA лучше или хуже, чем PCA, из-за эквивалентности, которую вы отметили. Они, однако, отличаются, когда инструменты применимы. Это понимание статьи: вы можете перевернуть размер, если вам удобнее! Таким образом, в упомянутом приложении много ресурсов, поэтому вам понадобится длинный временной ряд для вычисления ковариационной матрицы, но теперь вы можете использовать APCA. Тем не менее, я не думаю, что APCA применяется очень часто, потому что вы можете попытаться уменьшить размерность, используя другие методы (например, факторный анализ).