Как мне интерпретировать мою регрессию с помощью первых разностных переменных?

У меня есть два временных ряда:

Прокси для премии за рыночный риск (ERP; красная линия)
Безрисковая ставка по государственному облигации (синяя линия)

Прокси премиум-класса и безрисковая ставка с течением времени

Я хочу проверить, может ли безрисковая ставка объяснить ERP. Таким образом, я в основном последовал совету Цая (2010, 3-е издание, стр. 96): Финансовый временной ряд:

Установите модель линейной регрессии и проверьте последовательные корреляции остатков.
Если остаточный ряд является нестационарностью единичного корня, возьмите первое различие как зависимых, так и объясняющих переменных.

Делая первый шаг, я получаю следующие результаты:

Coefficients:
               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)     6.77019    0.25103   26.97   <2e-16 ***
Risk_Free_Rate -0.65320    0.04123  -15.84   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Как и ожидалось из рисунка, отношение является отрицательным и значимым. Тем не менее, остатки последовательно коррелируют:

Функция ACF остатков регрессии безрисковой ставки на ERP

Поэтому я сначала различаю как зависимую, так и пояснительную переменную. Вот что я получаю:

Coefficients:
                Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    -0.002077   0.016497  -0.126      0.9    
Risk_Free_Rate -0.958267   0.053731 -17.834   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

А АКФ остатков выглядит так:

Функция ACF остатков регрессии безрисковой ставки на ERP (дифференцированная)

Этот результат выглядит великолепно: во-первых, остатки теперь не коррелированы. Во-вторых, отношение сейчас кажется более негативным.

Вот мои вопросы (вы, наверное, уже задавались вопросом ;-) Первая регрессия, которую я бы интерпретировал как (кроме эконометрических проблем): «если безрисковая ставка возрастет на один процентный пункт, ERP снизится на 0,65 процентных пункта». На самом деле, подумав немного об этом, я бы интерпретировал вторую регрессию точно так же (сейчас это приводит к падению на 0,96 процентных пункта). Правильно ли это толкование? Просто странно, что я преобразовываю свои переменные, но не должен менять свою интерпретацию. Если это, однако, правильно, почему результаты изменяются? Это только результат эконометрических проблем? Если так, у кого-нибудь есть идея, почему моя вторая регрессия кажется еще «лучше»? Обычно я всегда читаю, что у вас могут быть ложные корреляции, которые исчезают после того, как вы сделаете это правильно. Вот,

regression time-series

— Christoph_J
источник

Ответы:

Y_{T} знак равно β_{0} + β_{1} {Икс}_{T} + β_{2} T + ε_{T},

$\begin{equation*} y_t = \beta_0 + \beta_1 x_t + \beta_2 t + \epsilon_t. \end{equation*}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

β_{0} + β_{1} x_{t - 1} + β_{2} (t - 1) + ϵ_{t - 1}

$\beta_0 + \beta_1 x_{t-1} + \beta_2 ({t-1}) + \epsilon_{t-1}$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Δ Y_{T} знак равно β_{1} Δ {Икс}_{T} + β_{2} + Δ ε_{T},

$\begin{equation*} \Delta y_t = \beta_1 \Delta x_t + \beta_2 + \Delta \epsilon_t. \end{equation*}$

Δ x

$\Delta x$

β_{1}

$\beta_1$

ε_{T} знак равно Σ_{s знак равно 0}^{T - 1} ν_{s},

$\begin{equation*} \epsilon_t = \sum_{s=0}^{t-1}{\nu_s}, \end{equation*}$

ν_{s}

$\nu_s$

$\epsilon$

По этим причинам важно различать только нестационарные процессы из-за единичных корней и использовать трендендинг для так называемых стационарных трендов.

(Корень единицы приводит к тому, что дисперсия ряда изменяется, и она фактически взрывается со временем; однако ожидаемое значение этого ряда является постоянным. У стационарного процесса тренда есть противоположные свойства.)

— Чарли
источник

Отличный ответ, спасибо за объяснение. Это очень помогает.

— Christoph_J

+1 Последнее предложение - золото, и я бы хотел, чтобы оно было ясно сформулировано, когда я впервые столкнулся с идеей дифференцирования.

— Уэйн

ϵ

$\epsilon$

Замечательные моменты, @cardinal. Изменения были сделаны. Я надеюсь, что они проясняют вещи.

— Чарли

y

$y$

y

$y$

x

$x$

x

$x$

x

$x$

y

$y$

x

$x$

y_{t - 1}

$y_{t-1}$

Первое различие удаляет линейные тренды, которые, похоже, сохраняются в исходных остатках. Похоже, что первое различие убрало тенденцию в остатках, и у вас остались в основном некоррелированные остатки. Я думаю, что, возможно, тенденция к остаткам скрыла часть отрицательной взаимосвязи между ERP и безрисковой ставкой, и это было бы причиной того, что модель демонстрирует более сильную взаимосвязь после дифференцирования.

— Майкл Р. Черник
источник