По какой причине мы используем натуральный логарифм (ln) вместо логарифмического основания 10 для определения функции в эконометрике?

33

По какой причине мы используем натуральный логарифм (ln), а не логарифм по основанию 10 при определении функций в эконометрике?

econometrics

Проверьте это для подробностей youtube.com/watch?v=IXhucU6214M&feature=youtu.be, это расскажет, почему натуральные бревна рассчитываются по причинам и ссылкам известных авторов

— Амит Кумар

53

В контексте линейной регрессии в социальных науках Гельман и Хилл пишут [1]:

Мы предпочитаем натуральные бревна (то есть основание логарифмов ), потому что, как описано выше, коэффициенты в натуральной логарифмической шкале прямо интерпретируются как приблизительные пропорциональные разности: при коэффициенте 0,06 разность 1 по соответствует приблизительной 6 % разницы и т. д. $e$ $x$ $y$

[1] Эндрю Гельман и Дженнифер Хилл (2007). Анализ данных с использованием регрессионных и многоуровневых / иерархических моделей . Издательство Кембриджского университета: Кембридж; Нью-Йорк, стр. 60-61.

— fmark
источник

3

+1: по конкретной причине предпочесть натуральный логарифм.

— Нил Г

2

В более общем смысле, экспоненциальная функция является единственной непрерывной функцией, равной ее производной.

— user603

1

Разве это не применимо, если мы применим log10 к зависимой и независимой переменной (ам)?

— cs0815

2

@ cs0815, если вы примените разложение Тейлора вокруг точки b к показательной функции , с тогда вы получите для первых двух слагаемых: и член становится равным 1 для , так что вы можете использовать , что верно только для малых x. Также вы можете просто попробовать его exp (1,06) / exp (1) = 1,0618 и 10 ^ 1,06 / 10 ^ 1 = 1,1418154

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f^{(n)} (b)}{n!} (x - b)^{n}

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(b)}{n!}(x-b)^n$

f (x) = a^{x}

$f(x)=a^x$

f^{(n)} (x) = l n (a)^{n} a^{x}

$f^{(n)}(x) = ln(a)^n a^x$

f (b + x) = f (b) + l n (a) f (b) x + O (x^{2})

$f(b+x) = f(b) + ln(a)f(b)x + \mathcal{O}(x^2)$

l n (a)

$ln(a)$

a = e

$a=e$

f (b + x) \sim f (b) (1 + x)

$f(b+x) \sim f(b) (1+x)$

— Sextus

14

Нет очень веской причины для предпочтения натуральных логарифмов. Предположим, мы оцениваем модель:

ln Y = a + b ln X

Соотношение между натуральным (ln) и основанием 10 (log) логарифмами равно ln X = 2.303 log X (источник) . Следовательно, модель эквивалентна:

2.303 log Y = a + 2.303b log X

или, поставив / 2.303 = a *:

log Y = a* + b log X

Любая форма модели может быть оценена с эквивалентными результатами.

Небольшое преимущество натуральных логарифмов состоит в том, что их первый дифференциал проще: d (ln X) / dX = 1 / X, а d (log X) / dX = 1 / ((ln 10) X) (источник) .

Источник в учебнике по эконометрике, в котором говорится, что можно использовать любую форму логарифмов, см. Гуджарати, Основы эконометрики, 3-е издание, 2006 г., стр. 288.

— Адам Бейли
источник

2

Натуральный логарифм также полезен в полулогарифмической регрессии временных рядов, поскольку оцененные коэффициенты можно интерпретировать как непрерывно составные темпы роста.

— Джейсон Б

6

Я думаю, что используется натуральный логарифм, потому что экспонента часто используется при расчете процента / роста.

Если вы находитесь в непрерывном времени и что вы накапливаете проценты, в конечном итоге вы получите будущую стоимость определенной суммы, равную (где r - процентная ставка, а N - номинальная сумма сумма). $F(t)=N.e^{rt}$

Поскольку в итоге вы получаете экспоненциальное исчисление, лучший способ избавиться от него - использовать натуральный логарифм, а если вы выполните обратную операцию, натуральный лог даст вам время, необходимое для достижения определенного роста.

Кроме того, хорошая вещь о логарифмах (будь то естественная или нет) заключается в том, что вы можете превратить умножения в сложения.

Что касается математических объяснений того, почему мы в конечном итоге используем экспоненту при сложении интереса, вы можете найти ее здесь: http://en.wikipedia.org/wiki/Continuously_compounded_interest#Periodic_compounding

По сути, вам нужно взять предел, чтобы иметь бесконечное количество выплат по процентной ставке, которое в конечном итоге является определением экспоненциального

Даже если учесть, что непрерывное время не широко используется в реальной жизни (вы платите по ипотеке ежемесячными платежами, а не каждые секунды ...), такие расчеты часто используются количественными аналитиками.

— Mesop
источник

Я бы, наверное, дал такой ответ. То, что в моделировании это не имеет значения, тоже хорошо. Мы могли бы так же легко использовать базу 2. Разница лишь в постоянном

— мнении

N r^{t}

$Nr^t$

4

Еще одна причина, по которой экономисты предпочитают использовать регрессии с логарифмическими функциональными формами, является экономической: коэффициенты можно понимать как эластичности функции Кобба-Дугласа. Эта функция, вероятно, является наиболее распространенной среди экономистов для анализа вопросов, касающихся микроэкономического поведения (потребительские предпочтения, технологии, производственные функции) и макроэкономических вопросов (экономический рост). Термин эластичность используется для описания степени реакции изменения одной переменной на другую.

— user21259
источник

2

$e^{-{1\over2}x^2}$

— Wayne
источник

1

(\sqrt{e})^{- x^{2}}

$(\sqrt{e})^{-x^2}$

2

Единственная причина в том, что разложение Тейлора дает интуитивную интерпретацию результата.

Δ \ln Y_{t} = \ln Y_{t} - \ln Y_{t - 1} = \ln \frac{Y_{t}}{Y_{t - 1}} = \ln (1 + \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})

$\Delta \ln Y_t=\ln Y_t-\ln Y_{t-1}=\ln\frac{Y_{t}}{Y_{t-1}}=\ln\left(1+\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)$

\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}} - \frac{1}{2} {(\frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}})}^{2} + \dots

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}-\frac 1 2 \left(\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}\right)^2+\dots$

Δ \ln Y_{t} \approx \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\Delta\ln Y_t\approx\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

\dots = \dots + β \times Δ \ln Y_{t}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\ln Y_t$

β

$\beta$

\dots = \dots + β \times Δ \log_{10} Y_{t} \approx \dots + β \times \frac{1}{\ln (10)} \frac{Δ Y_{t}}{Y_{t - 1}}

$\dots=\dots+\beta\times\Delta\log_{10} Y_t\\ \approx\dots+\beta\times\frac 1 {\ln(10)}\frac{\Delta Y_t}{Y_{t-1}}$

β

$\beta$

— Аксакал
источник

1

Есть веская причина использовать логарифмическое преобразование переменной, если вы думаете, что обратная функция логарифма - это экспоненциальная функция, которая является непрерывной версией сложения. Экономическая переменная, которая растет примерно на 10% за раз, может быть преобразована в переменную со средним значением около 10 (плюс константа). Вы не можете сделать это с преобразованием логарифма другой базы.

— Ikuyasu
источник