Эффективная выборка порогового бета-распределения

Как мне выбрать образец из следующего дистрибутива?

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

Если не слишком велико, то выборка отклонения может быть лучшим подходом, но я не уверен, как действовать, когда велико. Возможно, есть какое-то асимптотическое приближение, которое можно применить? $k$ $k$

random-generation beta-distribution truncation

— user1502040
источник

Не совсем однозначно ясно, что вы намерены там обозначить как «

». Вы имеете в виду усеченное бета-распределение (усеченное слева при

x \sim B (α, β), x > k

$x \sim B(\alpha, \beta),\space x > k$

k

$k$

— Glen_b

@Glen_b точно.

— user1502040

Для обоих параметров формы больше 1 бета-распределение является лог-вогнутым, поэтому экспоненциальные огибающие могут быть использованы для выборки отклонения. Что касается создания неусеченных бета-вариаций, которые вы уже выбираете из усеченных экспоненциальных распределений (что легко сделать), то адаптировать этот метод должно быть просто.

— Scortchi - Восстановить Монику

Ответы:

Простейшим и наиболее общим способом, применимым к любому усеченному распределению (его можно также обобщить для усечения с обеих сторон), является использование выборки с обратным преобразованием . Если - совокупное распределение интереса, тогда установите и возьмите $F$ $p_0 = F(k)$

U \sim U (p_{0}, 1) X = F^{- 1} (U)

$U \sim \mathcal{U}(p_0, 1) \\ X = F^{-1}(U)$

где - выборка из усеченной влево в точке . Функция квантиль будет отображать вероятности в образцах из . Поскольку мы берем значения только из «области», которая соответствует значениям бета-распределения из неусеченной области, вы будете выбирать только эти значения. $X$ $F$ $k$ $F^{-1}$ $F$ $U$

Этот метод показан на изображении ниже, где усеченная область отмечена серым прямоугольником, точки красного цвета взяты из распределения а затем преобразованы в выборок. $\mathcal{U}(p_0, 1)$ $\mathcal{B}(2, 8)$

— Тим
источник

(+1) Стоит отметить, что квантильную функцию не так легко оценить.

— Scortchi - Восстановить Монику

@Scortchi Если a или b равны 1 или хотя бы целому числу, это неплохая форма (см. Википедию ). И в Python есть scipy.special.betaincдля обратного и в R есть pbeta.

— Graipher

@Graipher: я должен был сказать "в общем, дешево" - было бы лучше избегать Ньютона-Рафсона или других итерационных решений, если это возможно. (Кстати, qbetaдля функции

— квантиля

@ Scortchi вы правы, но в большинстве случаев для современных компьютеров это не должно быть серьезной проблемой. Я также рекомендую этот подход, поскольку он непосредственно доступен в большинстве программ и может быть распространен на любой усеченный дистрибутив, только если у него есть доступ к функции квантиля.

— Тим

k

$k$

k

$k$

$\alpha$ $\beta$ $k_1<k_2$

f (x) = \frac{x^{(α - 1)} (1 - x)^{(β - 1)}}{B (k 2, α, β) - B (k_{1}, α, β)}

$f(x) = \frac{x^{(\alpha-1)}(1-x)^{(\beta-1)}}{\operatorname{B}(k2, \alpha, \beta) - \operatorname{B}(k_1, \alpha, \beta)}$

$x_\mathrm{L}$ $x_\mathrm{U}$ $\alpha,\beta>1$

g (x) = c \cdot λ e^{- λ (x - x_{L})}

$g(x) = c \cdot \lambda \mathrm{e}^{-\lambda (x-x_\mathrm{L})}$

$\lambda$

- λ = \frac{a - 1}{x} - \frac{b - 1}{1 - x}

$-\lambda = \frac{a-1}{x} - \frac{b-1}{1-x}$

c

$c$

c = \frac{f (x)}{λ e^{- λ (x - x_{L})}}

$c = \frac{f(x)}{\lambda\mathrm{e}^{-\lambda(x-x_\mathrm{L})}}$

A = c \cdot (1 - e^{- λ (x_{U} - x_{L})})

$A = c \cdot (1 - \mathrm{e}^{-\lambda(x_\mathrm{U}-x_\mathrm{L})})$

x

$x$

λ

$\lambda$

c

$c$

\begin{aligned} Q (x) = & \frac{x^{a} (1 - x)^{b}}{(a + b - 2) x - a + 1} \cdot \\ [\exp (\frac{(b - 1) (x - x_{L})}{1 - x} + \frac{x_{L} (a - 1)}{x} - (a - 1)) - \\ \exp (\frac{(b - 1) (x - x_{U})}{1 - x} + \frac{x_{U} (a - 1)}{x} - (a - 1))] \end{aligned}

$\begin{align} Q(x)= & \frac{x^a (1-x)^b}{(a+b-2)x - a+1} \cdot\\ & \left[\exp\left(\frac{(b-1)(x-x_L)}{1-x} + \frac{x_L (a-1)}{x} - (a-1)\right) - \right.\\ & \left. \exp\left(\frac{(b-1)(x-x_U)}{1-x} + \frac{x_U(a-1)}{x} - (a-1)\right)\right]\\ \end{align}$

$\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x}$ $x$ $\frac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = 0$

$k_1$ $k_2$ $U$ $\frac{- \log(1-U)}{\lambda}$ $\lambda$

Прелесть этого подхода в том, что вся тяжелая работа в настройке. Как только функция огибающей определена, нормализующая константа для усеченной бета-плотности рассчитана, остается только сгенерировать однородные случайные переменные и выполнить с ними несколько простых арифметических операций, журналов и степеней и сравнений. Усиление функции огибающей - с горизонтальными линиями или более экспоненциальными кривыми - может, конечно, уменьшить количество отклонений.

— Scortchi - Восстановить Монику
источник

+1 Отличная идея. Поскольку бета-версия является нормальной для умеренных или больших значений ее параметров, в зависимости от того, насколько они близки друг к другу, использование гауссовой огибающей может быть еще немного более эффективным.

— whuber

α < 1

$\alpha<1$

β < 1

$\beta<1$

α

$\alpha$

β

$\beta$

@whuber: (1) Подход, который я здесь использовал для создания конвертов, не сработал бы, потому что плотности не являются вогнутыми. (2) (а) Я имел в виду, конечно, алгебраические функции + журналы и полномочия, триг. функции, если бы меня спросили, и, возможно, даже гамма-функции - признаюсь, у меня не было точного представления. (б) Точка отсчета - быстрые оценки функций не ограничиваются оценками с закрытыми формами.

— Scortchi - Восстановить Монику

α < 1

$\alpha\lt 1$

β < 1

$\beta \lt 1$