Упростите сумму комбинаций с одинаковым n, все возможные значения k

Есть ли способ упростить это уравнение?

(\binom{8}{1}) + (\binom{8}{2}) + (\binom{8}{3}) + (\binom{8}{4}) + (\binom{8}{5}) + (\binom{8}{6}) + (\binom{8}{7}) + (\binom{8}{8})

$\dbinom{8}{1} + \dbinom{8}{2} + \dbinom{8}{3} + \dbinom{8}{4} + \dbinom{8}{5} + \dbinom{8}{6} + \dbinom{8}{7} + \dbinom{8}{8}$

Или, в общем,

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k})

$\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n}{k}$

combinatorics

— Idr
источник

В магазине мороженого производится мороженое без вкуса, а затем добавляется один или несколько из 5 концентратов вкуса (ваниль, шоколад, помадка, мята, джамока) для создания различных мороженых, доступных для продажи в магазине. Таким образом, количество различных вариантов составляет

\sum_{k = 1}^{5} (\binom{5}{k})

$\sum_{k=1}^5 \binom{5}{k}$ . Попробуйте подсчитать количество ароматов вручную. Для дополнительного кредита, идентифицируйте магазин.

— Дилип Сарватэ,

Ответы:

Видеть

http://en.wikipedia.org/wiki/Combination#Number_of_k-combinations_for_all_k

который говорит

\sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n}

$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$

Вы можете доказать это с помощью биномиальной теоремы, где . $x=y=1$

Теперь, поскольку для любого , отсюда следует, что $\binom{n}{0} = 1$ $n$

\sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) = 2^{n} - 1

$\sum_{k=1}^{n} \binom{n}{k} = 2^n - 1$

В вашем случае , поэтому ответ . $n=8$ $2^8 - 1 = 255$

— макрос
источник

Благодарю. Я пытался выяснить все возможные наборы входных функций для регрессии, поэтому я решил начать со статистики, но я полагаю, что этот вопрос не является статистикой как таковой.

— Идр

Нет проблем. Пожалуйста, рассмотрите возможность голосования и / или принятия ответов, которые показались вам полезными :)

— Макрос

Конечно. Также я верю, что твои «я» должны быть «к».

— Idr

Вы правы - исправлено.

— Макрос

Простой способ убедиться в этом: вы берете каждый элемент (1) или нет (0). Таким образом, вы можете представить все двоичные числа с n битами: 2 ^ n. И это составляет все комбинации с одним удаленным предметом, плюс все комбинации с удаленным 2 предметами и т. Д. = Сумма C (k / N).

— Сниколас

Домашнее задание?

Подсказка:

Запомните биномиальную теорему:

(x + y)^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) x^{k} y^{n - k}

$(x+y)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^ky^{n-k}$

Теперь, если бы вы могли просто найти x и y, чтобы был постоянным ... $x^ky^{n-k}$

— Erik
источник