Среднее геометрическое является объективной оценкой среднего, непрерывное распределение которого?

Существует ли какое-либо непрерывное распределение, выражаемое в замкнутой форме, среднее значение которого таково, что среднее геометрическое для выборок является объективной оценкой для этого среднего значения?

Обновление: я только что понял, что мои образцы должны быть положительными (иначе геометрическое среднее может не существовать), поэтому, возможно, непрерывный - не то слово. Как насчет распределения, которое равно нулю для отрицательных значений случайной величины и непрерывно для положительных значений. Что-то вроде усеченного дистрибутива.

distributions geometric-mean

— user53608
источник

Распределение может быть непрерывным при наличии строго положительного выборочного пространства (например, гамма-распределение).

— gammer

Также вы имеете в виду пример, где среднее геометрическое по выборке является объективной оценкой первого момента? Я только когда-либо видел геометрическое среднее дискретного набора определенных данных и неуверенный способ определения «истинного» (то есть уровня населения) геометрического среднего значения для непрерывного распределения ... Может быть,

e x p (E (\log (X)))

${\rm exp}( E(\log(X)) )$ ?

— gammer

Это работает для нормального распределения.

— Майкл Р. Черник

Это верно, если случайная величина

почти наверняка равна некоторой положительной скалярной константе

. Не иначе.

X

$X$

c

$c$

— Мэтью Ганн

Ответы:

Я полагаю, что вы спрашиваете, что такое дистрибутив rv , если таковой имеется, так что, если у нас есть iid-образец размера из этого дистрибутива, он будет содержать $X$ $n>1$

Е [грамм M] знак равно Е [{(Π_{я знак равно 1}^{N} {Икс}_{я})}^{1 / N}] знак равно Е (Икс)

$E[GM] = E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E(X)$

Из-за предположения IID , мы имеем

Е [{(Π_{я знак равно 1}^{N} {Икс}_{я})}^{1 / N}] знак равно Е ({Икс}_{1}^{1 / N} \cdot,,, \cdot {Икс}_{N}^{1 / N}) знак равно Е ({Икс}_{1}^{1 / N}) \cdot,,, \cdot Е ({Икс}_{N}^{1 / N}) знак равно {[Е ({Икс}^{1 / N})]}^{N}

$E\left[\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right)^{1/n}\right] = E\left(X_1^{1/n}\cdot ...\cdot X_n^{1/n}\right) = E\left (X_1^{1/n}\right)\cdot ...\cdot E\left(X_n^{1/n}\right) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n$

и поэтому мы спрашиваем, можем ли мы иметь

{[Е ({Икс}^{1 / N})]}^{N} знак равно Е (Икс)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Но из-за неравенства Дженсена и того факта, что степенная функция является строго выпуклой для степеней выше единицы, мы имеем это почти наверняка для невырожденной (непостоянной) случайной величины,

{[Е ({Икс}^{1 / N})]}^{N} < Е {[({Икс}^{1 / N})]}^{N} знак равно Е (Икс)

$\left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n < E\left[\left(X^{1/n}\right)\right]^n = E(X)$

Так что такого распределения не существует.

Что касается упоминания логнормального распределения в комментарии, то справедливо то, что среднее геометрическое ( ) выборки из логнормального распределения является смещенной, но асимптотически непротиворечивой оценкой медианы . Это потому, что для логнормального распределения $GM$

Е ({Икс}^{s}) знак равно ехр {s μ + \frac{s^{2} σ^{2}}{2}}

$E(X^s) = \exp\left\{s\mu + \frac {s^2\sigma^2}{2}\right \}$

(где и - параметры базовой нормали, а не среднее значение и дисперсия логнормаль). $\mu$ $\sigma$

В нашем случае поэтому мы получаем $s = 1/n$

Е (грамм M) знак равно {[Е ({Икс}^{1 / N})]}^{N} знак равно {[ехр {(μ / N) + \frac{σ^{2}}{2 N^{2}}}]}^{N} знак равно ехр {μ + \frac{σ^{2}}{2 N}}

$E(GM) = \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \left[\exp\left\{(\mu/n) + \frac {\sigma^2}{2n^2}\right \}\right]^n = \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \}$

(что говорит нам, что это предвзятая оценка медианы). Но

Ит {[Е ({Икс}^{1 / N})]}^{N} знак равно Ит ехр {μ + \frac{σ^{2}}{2 N}} знак равно е^{μ}

$\lim \left[E\left(X^{1/n}\right)\right]^n = \lim \exp\left\{\mu + \frac {\sigma^2}{2n}\right \} = e^{\mu}$

который является медианой распределения. Можно также показать, что дисперсия среднего геометрического образца сходится к нулю, и этих двух условий достаточно, чтобы эта оценка была асимптотически последовательной - для медианы,

грамм M \to_{п} е^{μ}

$GM \to_p e^{\mu}$

— Алекос Пападопулос
источник

X

$X$

n = 2

$n = 2$

V a r (X) = 0

$\mathrm{Var}(X) = 0$

X = 0

$X = 0$

Это похоже на превосходный ответ Алекоса, поскольку среднее арифметическое, среднее геометрическое неравенство является следствием неравенства Дженсена.

$A_n$ $A_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$
$G_n$ $G_n = \left( \prod_{i=1} X_i \right) ^ \frac{1}{n}$

$A_n \geq G_n$ $X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$\operatorname{E}[G_n] = \operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$

В каком-то смысле это полностью вырожденный случай.

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$

$G_n \leq A_n$ $\operatorname{E}[A_n] = \operatorname{E}[X]$ $\operatorname{E}[G_n] < \operatorname{E}[X]$

— Мэтью Ганн
источник

Среднее геометрическое является объективной оценкой среднего, непрерывное распределение которого?

Икс1= Х2= … = XNИкс1знак равноИкс2знак равно...знак равноИксNX_1 = X_2 = \ldots = X_n

п( Хя≠ XJ) > 0п(Икся≠ИксJ)>0P(X_i \neq X_j) > 0я ≠ jя≠Ji\neq j

$X_1 = X_2 = \ldots = X_n$

$P(X_i \neq X_j) > 0$ $i\neq j$