Последствия неравенства Гаусса для вычисления совместных доверительных интервалов

Согласно этой очень интересной статье в журнале Quanta: «Долгожданное доказательство, найдено и почти потеряно» , - было доказано, что с учетом вектора имеющего многовариантный Гауссово распределение и заданные интервалы центрированы вокруг средних соответствующих компонентов , тогда $\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)$ $I_1,\dots,I_n$ $\mathbf{x}$

п ({Икс}_{1} \in я_{1}, ..., {Икс}_{N} \in я_{N}) \geq Π_{я знак равно 1}^{N} п ({Икс}_{я} \in я_{я})

$p(x_1\in I_1, \dots, x_n\in I_n)\geq \prod_{i=1}^n p(x_i\in I_i)$

(Гауссово корреляционное неравенство или GCI; см. Https://arxiv.org/pdf/1512.08776.pdf для более общей формулировки).

Это кажется действительно хорошим и простым, и в статье говорится, что это имеет последствия для совместных доверительных интервалов. Тем не менее, это кажется совершенно бесполезным в этом отношении для меня. Предположим, что мы оцениваем параметры , и мы нашли оценщики которые (возможно, асимптотически) совместно нормальны (например, оценщик MLE) , Затем, если я вычислю 95% -ные доверительные интервалы для каждого параметра, GCI гарантирует, что гиперкуб является совместной доверительной областью с охватом не менее ..., что является довольно низким охватом даже для умеренного . $\theta_1,\dots,\theta_n$ $\hat{\theta_1},\dots,\hat{\theta_n}$ $I_1\times\dots I_n$ $(0.95)^n$ $n$

Таким образом, не представляется разумным способ найти совместные доверительные области: обычную доверительную область для многомерного гауссова, т. Е. Гиперэллипсоида, нетрудно найти, если ковариационная матрица известна и она острее. Может быть, было бы полезно найти доверительные области, когда ковариационная матрица неизвестна? Можете ли вы показать мне пример релевантности GCI для расчета совместных областей доверия?

normal-distribution confidence-interval multivariate-normal

— DeltaIV
источник

У вас правильная идея. Индивидуальные доверительные интервалы должны быть намного выше 95%, чтобы совместный регион достигал 95%. Каждый должен быть поднят как минимум на 0,95 до 1 / n-й степени.

— Майкл Р. Черник

Небольшая, но важная поправка: все интервалы должны быть сосредоточены вокруг нуля, т.е. .

I_{k}

$I_k$

I_{k} = {x : | x | \leq x_{k}}

$I_k=\{x: |x|\leq x_k\}$

— Алекс Р.

@amoeba Меня не беспокоит сложность доказательства, а отношение к прикладной статистике. Если рассмотрение гиперреугольника облегчает проявление такой актуальности, хорошо. Если вместо этого вы думаете, что это неравенство становится полезным на практике только тогда, когда рассматривается произвольный многоугольник, то это достаточно справедливо. Я приму ответ, который гласит: «Если вы рассматриваете только гиперреугольники, GCI не очень полезный инструмент для прикладного статистика, потому что…. Но если вы рассматриваете произвольные многоугольники, то он становится актуальным, потому что…»

— DeltaIV

Я хотел отредактировать и посмотрел в документах с доказательствами, но теперь я больше не уверен на 100%, является ли гипер-прямоугольник особым / простым случаем или эквивалентной формулировкой. Я оставлю это сейчас и, возможно, вернусь сюда позже.

— говорит амеба: восстанови Монику

гиперреугольники с центром в начале координат (где с центром в начале координат я имею в виду, что каждый из одномерных интервалов, декартово произведение которых определяет гипер- прямоугольник, является симметричным относительно начала координат), безусловно, является по крайней мере частным случаем (я понятия не имею, являются ли они эквивалентный случай). Согласно статье arXiv, неравенство справедливо для всех симметричных выпуклых множеств. Гиперреугольник является выпуклым множеством, и если он центрирован в начале координат в указанном выше смысле, то он симметричен, то есть .

H

$H$

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in H ⟺ - x \in H

$\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_n)\in H \iff -\mathbf{x} \in H$

— DeltaIV

Я думаю, что вопрос более актуален. В некотором смысле вы смотрите на тестирование нескольких гипотез и сравниваете его с тестированием нескольких гипотез.

Да, действительно, существует нижняя граница, которая является произведением p-значений тестов, предполагающих независимость. Это основа для корректировок значений p в тестах с множественными гипотезами, таких как поправки Бонферрони или Холма. Но поправки Бонферрони и Холма (при условии независимости) являются тестами с особенно низким энергопотреблением.

На практике можно добиться гораздо большего (и это делается с помощью Bootstrap, см., Например, проверку реальности Bootstrap H White, работы Романо-Вольфа и более позднюю подборку работ по наборам достоверности моделей). Каждый из них является попыткой проверки гипотезы с более высокой мощностью (например, с использованием оцененной корреляции, чтобы добиться большего успеха, чем просто использование этой нижней границы) и, следовательно, гораздо более актуальной.

— НСБ
источник