Основано ли использование стандартного отклонения на предположении о нормальном распределении?

10

Мне интересно, было ли стандартное отклонение всегда построено в предположении нормального распределения. Другими словами, если выборка не распределяется нормально, следует ли считать использование стандартного отклонения ошибкой?

normal-distribution standard-deviation

— Дугал
источник

3

Равномерное распределение имеет стандартное отклонение, как это может быть «ошибкой»?

18

Нет. Использование стандартного отклонения не предполагает нормальности.

Дисперсия случайной величины определяется как . Пока существует дисперсия, стандартное отклонение также существует. Стандартное отклонение - это квадратный корень из дисперсии. $\operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[(X - \operatorname{E}[X])^2]$

Вы можете использовать дисперсию или стандартное отклонение в любое время, когда они существуют. Дисперсия возникает в бесчисленных ситуациях. $\operatorname{Var}(X)$

Существуют специальные теоремы, леммы и т. Д. ... хотя для особого случая, когда следует нормальному распределению. $X$

Обычное использование стандартного отклонения, которое зависит от нормальности:

Если следует нормальному распределению, то существует приблизительно 95% вероятность того, что попадает в два стандартных отклонения от среднего. $X$ $X$

Это утверждение верно, если следует нормальному распределению (и нескольким другим), но в общем случае оно неверно. $X$

Распространенное использование дисперсии, которая не зависит от нормальности:

Пусть - случайная величина со средним значением и дисперсией . Определим для , как независимых случайных величин, каждая из следующего за одинаковым распределением как . $X$ $\operatorname{E}[X] = \mu$ $\operatorname{Var}(X) = \sigma^2$ $X_i$ $i=1, \ldots, n$ $X$

Определите выборочное среднее на основе наблюдений как: $n$

{\bar{Икс}}_{N} знак равно \frac{1}{N} Σ_{я знак равно 1}^{N} {Икс}_{я}

$\bar{X}_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$

По центральной предельной теореме сходится к нормально распределенной случайной переменной со средним и дисперсией . (Точнее сходится по распределению к как .) $\bar{X}_n$ $\mu$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $\sqrt{n}\left( \bar{X}_n - \mu \right)$ $\mathcal{N}(0,\sigma^2)$ $n \rightarrow \infty$

Практическим следствием является то, что выборочное среднее при больших можно рассматривать как нормально распределенной случайной переменной, дисперсия является функцией дисперсии . (Вспомните ) И этот результат не требует, чтобы был нормальным. (Для правильной работы требуется меньшее если в некотором смысле ближе к нормальному распределению.) $\bar{X}_n$ $n$ $\frac{\sigma^2}{n}$ $X$ $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2$ $X$ $n$ $X$

Центральная предельная теорема является вездесущим инструментом, который использует дисперсию и не нуждается в чтобы следовать нормальному распределению. $X$ $X$

— Мэтью Ганн
источник

4

Неравенство Чебышева не характерно для дисперсии: одинаково полезная версия существует для каждого абсолютного момента со степенью больше . Поэтому я бы предложил поискать в другом месте причины, по которым SD является важным и (почти) универсальным, например уникальную роль, которую играет дисперсия в центральной предельной теореме.

1

$1$

— whuber

@whuber Да, я начал писать пример CLT (и теперь я добавил его). CLT - чрезвычайно практическая причина заботиться о дисперсии.

— Мэтью Ганн

1

+1. Но обратите внимание, что хотя дисперсия (вместе со средним значением) дает полное описание в нормальном случае, для ненормального распределения это может быть уже не так, и другие d3-сценарии данных могут быть намного лучше

— kjetil b halvorsen

2

$S^2$ $\hat{\sigma}^2_{ML}$ $\mathrm{Var}[X_i]$

— Zen
источник