Гармоническое среднее минимизирует сумму квадратов относительных ошибок

Я ищу ссылку, где доказано, что гармоническое среднее

$$\bar{x}^h = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}$$

минимизирует (в $z$ ) сумму квадратов относительных ошибок

$$\sum_{i=1}^n \left( \frac{(x_i - z)^2}{x_i}\right).$$

Зачем вам нужна ссылка? Это простая проблема исчисления: чтобы задача, как вы ее сформулировали, имела смысл, мы должны предположить, что все . Затем определите функцию f ( z ) = n ∑ i = 1 ( x i - z ) $x_i > 0$ Затем вычислите производную поz: f′(z)=-2⋅n ∑ i=1(1-

$$f(z) = \sum_{i=1}^n \frac{(x_i - z)^2}{x_i}$$ $z$ тогда решение уравненияf′(z)=0дает решение. Теперь, конечно, мы должны проверить, что это действительно минимум, для этого вычислить вторую производную: f″(z)=-2 $$f'(z) = -2\cdot \sum_{i=1}^n (1-\frac{z}{x_i})$$ $f'(z)=0$ для последнего неравенства, которое мы использовали, наконец, что всеxi>0. Без этого предположения мы действительно могли бы рискнуть тем, что нашли максимум! $$f''(z) = -2 \cdot \sum_{i=1}^n (0-\frac1{x_i}) = 2 \sum_{i=1}^n \frac1{x_i} > 0$$ $x_i>0$

Что касается ссылки, может быть https://en.wikipedia.org/wiki/Fr%C3%A9chet_mean или https://en.wikipedia.org/wiki/Harmonic_mean или ссылки там.

Вы могли бы указать, что это регрессия взвешенных наименьших квадратов$1/x_i$

$\beta$

$$\sum \omega_i (y_i - \beta)^2.$$

$$X = \pmatrix{1\\1\\\vdots\\1}$$ $$W = \pmatrix{\omega_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \omega_2 & \cdots & 0 \\\vdots & \vdots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & \omega_n}.$$

$x_i$$y_i$$\beta$$z$$\omega_i=1/x_i$$0$

$$\hat\beta = (X^\prime W X)^{-1}X^\prime W y = \frac{\sum_i x_i\omega_i }{\sum_i \omega_i} = \frac{\sum_i x_i/x_i }{\sum_i 1/x_i} = \frac{n}{\sum 1/x_i},$$

КЕД .

---

Комментарии

1. Тот же анализ применяется к любым положительным наборам весов, обеспечивая обобщение среднего гармонического и полезный способ его характеризации.

2. Когда, как в контролируемом эксперименте, $x_i$

3. $x_i$$W$

Ссылка

Дуглас С. Монтгомери, Элизабет А. Пек и Дж. Джеффри Вайнинг, Введение в анализ линейной регрессии. Пятое издание. J. Wiley, 2012. Раздел 5.5.2.