Вот проблема наименьшего абсолютного отклонения в данной области:, Я знаю, что это может быть перестроено как проблема LP следующим образом:$\underset{\textbf{w}}{\arg\min} L(w)=\sum_{i=1}^{n}|y_{i}-\textbf{w}^T\textbf{x}|$

$\min \sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$u_i \geq \textbf{x}^T\textbf{w}- y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$u_i \geq -\left(\textbf{x}^T\textbf{w}-y_{i}\right) \; i = 1,\ldots,n$

Но я понятия не имею, чтобы решить это шаг за шагом, так как я новичок в LP. Есть ли у вас какие-либо идеи? Заранее спасибо!

РЕДАКТИРОВАТЬ:

Вот последний этап, который я достиг в этой проблеме. Я пытаюсь решить проблему, следуя этой заметке :

Шаг 1: Формулировка в стандартную форму

$\min Z=\sum_{i=1}^{n}u_{i}$

$\textbf{x}^T\textbf{w} -u_i+s_1=y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

$\textbf{x}^T\textbf{w} +u_i+s_2=-y_{i} \; i = 1,\ldots,n$

с учетом $s_1 \ge 0; s_2\ge 0; u_i \ge 0 \ i=1,...,n$

Шаг 2: Построить начальную таблицу

           |      |    0      |    1   |  0  |   0   |   0    
 basic var | coef |  $p_0$    |  $u_i$ |  W  | $s_1$ | $s_2$ 
      $s_1$| 0    |  $y_i$    |   -1   |  x  |   1   |   0
      $s_2 | 0    |  $-y_i$   |    1   |  x  |   0   |   1
      z    |      |    0      |    -1  |  0  |   0   |   0

Шаг 3: Выберите основные переменные

$u_i$ выбран в качестве входной базовой переменной. Здесь возникает проблема. При выборе выходной базовой переменной очевидно, что $y_i/-1=-y_i/1=-y_i$ . Согласно примечанию, если $y_i\ge0$ , задача имеет неограниченное решение.

Я полностью потерян здесь. Интересно, если что-то не так и как я должен продолжать следующие шаги.

Вам нужен пример для решения наименьшего абсолютного отклонения с помощью линейного программирования. Я покажу вам простую реализацию в R. Квантильная регрессия - это обобщение наименьшего абсолютного отклонения, которое имеет место для квантиля 0,5, поэтому я покажу решение для квантильной регрессии. Затем вы можете проверить результаты с помощью quantregпакета R :

rq_LP  <-  function(x, Y, r=0.5, intercept=TRUE) {
    require("lpSolve")
    if (intercept) X  <-  cbind(1, x) else X <-  cbind(x)
    N   <-  length(Y)
    n  <-  nrow(X)
    stopifnot(n == N)
    p  <-  ncol(X)
    c  <-  c(rep(r, n), rep(1-r, n), rep(0, 2*p))  # cost coefficient vector
    A  <- cbind(diag(n), -diag(n), X, -X)
    res  <-  lp("min", c, A, "=", Y, compute.sens=1)
### Desempaquetar los coefs:
    sol <- res$solution
    coef1  <-  sol[(2*n+1):(2*n+2*p)]
    coef <- numeric(length=p)
    for (i in seq(along=coef)) {
         coef[i] <- (if(coef1[i]<=0)-1 else +1) *  max(coef1[i], coef1[i+p])
    }
    return(coef)
    }

Затем мы используем это в простом примере:

library(robustbase)
data(starsCYG)
Y  <- starsCYG[, 2]
x  <- starsCYG[, 1]
rq_LP(x, Y)
[1]  8.1492045 -0.6931818

тогда вы сами можете сделать проверку с quantreg.

Линейное программирование может быть обобщено с помощью выпуклой оптимизации, где помимо симплекса доступно много более надежных алгоритмов.

Я бы посоветовал вам проверить The Convex Optimization Book и набор инструментов CVX, который они предоставили. Где вы можете легко сформулировать наименьшее абсолютное отклонение с регуляризацией.

https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf

http://cvxr.com/cvx/