Удвоение хвостов в тесте перестановки с двумя образцами

Предположим, у нас есть две выборки, и мы хотим определить, взяты ли они из одного и того же распределения, причем выборки A, B состоят из нескольких целых чисел.

Если мы проверим это с помощью теста перестановки с двумя выборками, в частности, рассмотрим перестановки, где различия в значениях выборок столь же велики, как и наблюдаемая разница: есть ли основания полагать, что мы можем рассчитать двусторонний p- ценность, глядя на один хвост и удваивая вероятность?

Это то, что говорится в моих конспектах, но я не понимаю, почему мы можем предположить, что хвосты симметричны (или почему это не влечет за собой такое предположение). Объяснений не последовало.

Распределение перестановки вашей тестовой статистики не обязательно будет симметричным, поэтому вы не можете сделать это таким образом. Вместо этого вы добавляете оба хвоста. В вашем случае двух независимых выборок нулевая гипотеза состоит в том, что два параметра местоположения равны. Предполагая непрерывные распределения и равный разброс в обеих группах, мы имеем взаимозаменяемость при нулевой гипотезе. Тестовая статистика - это разница в средних значениях, где E ( T ) = 0 под нулем.$T$$E(T) = 0$

Значение для в исходном образце равно T emp , а его значения для перестановок T ⋆ . ♯ ( ⋅ ) - это сокращение от «количества» чего-либо, например, ♯ ( T ⋆ ) - это число тестовых статистик перестановок. Тогда p- значение для двусторонней гипотезы равно p ts = p left + p right , где$T$$T_{\text{emp}}$$T^{\star}$$\sharp(\cdot)$$\sharp(T^{\star})$$p$$p_{\text{ts}} = p_{\text{left}} + p_{\text{right}}$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}}))}{\sharp(T^{\star})}$

(при условии, что у нас есть полное распределение перестановок). Давайте сравним оба подхода для случая двух независимых выборок, когда мы можем вычислить точное (полное) распределение перестановок.

set.seed(1234)
Nj   <- c(9, 8)                      # group sizes
DVa  <- rnorm(Nj[1], 5, 20)^2        # data group 1
DVb  <- rnorm(Nj[2], 10, 20)^2       # data group 2
DVab <- c(DVa, DVb)                  # data from both groups
IV   <- factor(rep(c("A", "B"), Nj)) # grouping factor
idx  <- seq(along=DVab)              # all indices
idxA <- combn(idx, Nj[1])            # all possible first groups

# function to calculate test statistic for a given permutation x
getDM <- function(x) { mean(DVab[x]) - mean(DVab[!(idx %in% x)]) }
resDM <- apply(idxA, 2, getDM)       # test statistic for all permutations
diffM <- mean(DVa) - mean(DVb)       # empirical stest statistic

$p$coin$p_{\text{left}} \neq p_{\text{right}}$$p_{ts}$

> (pL <- sum(resDM <= min(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # left p-value
[1] 0.1755245

> (pR <- sum(resDM >= max(diffM, -diffM)) / length(resDM))  # right p-value
[1] 0.1585356

> 2*pL        # doubling left p-value
[1] 0.351049

> 2*pR        # doubling right p-value
[1] 0.3170712

> pL+pR       # two-sided p-value
[1] 0.3340601

> sum(abs(resDM) >= abs(diffM)) / length(resDM)  # two-sided p-value (more concise)
[1] 0.3340601

# validate with coin implementation
> library(coin)              # for oneway_test()    
> oneway_test(DVab ~ IV, alternative="two.sided", distribution="exact")
Exact 2-Sample Permutation Test
data:  DVab by IV (A, B) 
Z = 1.0551, p-value = 0.3341
alternative hypothesis: true mu is not equal to 0 

$p$

$p_{\text{left}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, <= \, \text{min}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) + 1}{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{right}} = \frac{\sharp(T^{\star} \, >= \, \text{max}(T_{\text{emp}}, -T_{\text{emp}})) +1 }{\sharp(T^{\star}) \, + \, 1}$

$p_{\text{ts}} = \frac{\sharp(\text{abs}(T^{\star}) \, >= \, \text{abs}(T_{\text{emp}})) \, + \, 1 }{\sharp(T^{\star}) + 1}$

$p$