Почему P (A, B | C) / P (B | C) = P (A | B, C)?

Я понимаю, что $P(A\cap B)/P(B) = P(A|B)$ . Условным является пересечение A и B, деленное на всю площадь B.

Но почему $P(A\cap B|C)/P(B|C) = P(A|B \cap C)$ ?

Можете ли вы дать некоторую интуицию?

Разве это не должно быть: ?$P(A\cap B \cap C)/P(B,C) = P(A|B \cap C)$

Любой вероятностный результат, истинный для безусловной вероятности, остается верным, если все обусловлено каким-либо событием.

Вы знаете, что по определению и, таким образом, если мы обусловим все,что произошло вC, то получим, что P(A∣(B∩C))=P((A∩B)∣C

$$P(A\mid B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}\tag{1}$$ $C$ именно так, как говорит ваша интуиция. Но вы можете установитьD=B∩C и начать с определенияP(A∣(B∩C))=P(A∣D),как в(1)P(A∣(B∩C))=P(A∣D)=P $$P(A\mid (B \cap C)) = \frac{P((A\cap B)\mid C)}{P(B\mid C)}\tag{2}$$ $D = B\cap C$$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D)$$(1)$ а затем умножить и разделить наP(C))справа от(3),чтобы записать конечный результат как(2),как в ответе Тейлора. $$P(A\mid (B \cap C)) = P(A\mid D) = \frac{P(A\cap D)}{P(D)} = \frac{P(A\cap (B \cap C))}{P(B\cap C)} = \frac{P(A\cap B \cap C)}{P(B\cap C)}\tag{3}$$ $P(C))$$(3)$$(2)$

$$\Pr[A \cap B \mid C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[B \mid C] = \frac{\text{"1"} + \text{"2"}}{\text{"C"}}, \quad \Pr[A \mid B \cap C] = \frac{\text{"1"}}{\text{"1"} + \text{"2"}},$$

$$\begin{align*} \frac{P(A,B|C)}{P(B|C)} &= \frac{P(A,B,C)}{P(C)}\frac{P(C)}{P(B,C)} \\ &= \frac{P(A,B,C)}{P(B,C)} \\ &= P(A|B,C) \end{align*}$$

Моя интуиция заключается в следующем ...

Кондиционирование на $C$ означает, что мы рассматриваем только случаи, когда $C$дано. Теперь предположим, что я живу в мире, где$C$ всегда дается.

Мои люди ничего не знают и не могут представить мир без $C$. For some reason, our mathematicians denote probability of $X$ по $\hat{P}(X)$, Они также уже обнаружили правило

$$\hat P(A|B) = \frac{\hat P(A\cap B)}{\hat P(B)}\text{.}$$

Теперь вы, землянин, знаете мир, в котором $C$не является частью предположений в повседневной жизни. Итак, когда вы попадаете на нашу планету, вы сразу можете заметить, что каждая наша вероятность$\hat P(X)$ на самом деле соответствуют вашим $P(X|C)$,

Вы сразу можете переписать RHS, следуя верхнему открытию:

$$\frac{P(A\cap B\mid C)}{P(B \mid C)}\text{.}$$

Но ... Что такое LHS? Ну какова вероятность$A$ когда $B$ дается когда $C$(также) дано? Точно

$$P(A\mid B\cap C)\text{,}$$ отсюда формула.