Как , полярная координата, распределяется, когда и когда ?

Пусть декартовы координаты случайной точки выбраны st .$x,y$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$

Таким образом, радиус, , не равномерно распределены как следует из «ы PDF .$\rho = \sqrt{x^2 + y^2}$$\rho$

Тем не менее, я ожидал бы, что будет почти равномерным, исключая артефакты из-за 4 остатков по краям:$\theta = \arctan{\frac{y}{x}}$

Ниже приведены grafically расчетные функции плотности вероятности из и : $\theta$$\rho$

Теперь, если я позволю быть распределенными st то кажется равномерно распределенным:$x,y$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$$\theta$

Почему не является равномерным, когда и является равномерным, когда ?$\theta$$(x,y) \sim U(-10,10) \times U(-10,10)$$x,y \sim N(0,20^2)\times N(0,20^2)$

Код Matlab, который я использовал:

number_of_points = 100000;
rng('shuffle')

a = -10;
b = 10;
r = (b-a).*randn(2,number_of_points);
r = reshape(r, [2,number_of_points]);
I = eye(2);
e1 = I(:,1); e2 = I(:,2);
theta = inf*ones(1,number_of_points);
rho = inf*ones(1,number_of_points);

for i=1:length(r(1,:))
    x = r(:,i);
    [theta(i),rho(i)] = cart2pol(x(1),x(2));        
end

figure
M=3;N=1; bins = 360;
subplot(M,N,1); 
histogram(rad2deg(theta), bins)
title('Polar angle coordinate p.d.f');

subplot(M,N,2); 
histogram(rho, bins);
title('Polar radius coordinate p.d.f');

subplot(M,N,3); 
histogram(r(:));
title('The x-y cooridnates distrbution (p.d.f)');

Подстановка 3-й строки: r = (b-a).*randn(2,number_of_points);с r = (b-a).*randn(2,number_of_points) +a ;изменит распределение с нормального на равномерное.$(x,y)$

Вы имеете в виду преобразование пары независимых переменных в полярное представление (радиус и угол), а затем смотрите на предельное распределение .$(X,Y)$$(R,\theta)$$\theta$

Я собираюсь предложить несколько интуитивное объяснение (хотя математический вывод плотности по существу делает то, что я описываю неформально).

Обратите внимание, что если вы масштабируете две переменные, X и Y по некоторой общей шкале (например, переходите от U (-1,1) к U (-10,10) или от N (0,1) до N (0,20) на обе переменные одновременно) это не имеет никакого значения для распределения угла (это влияет только на масштаб распределения радиуса). Итак, давайте просто рассмотрим единичные случаи.

Сначала рассмотрим, что происходит с единообразным делом. Обратите внимание, что распределение равномерно по единичному квадрату, так что плотность вероятности в области, которая содержится в пределах , пропорциональна площади области. В частности, посмотрите на плотность, связанную с элементом угла вблизи горизонтали (вблизи угла ) и диагонали (вблизи угла ):$[-1,1]^2$$d\theta$$\theta=0$$\theta=\pi/4$

Ясно, что элемент вероятности (т.е. площадь), соответствующий элементу угла ( ), больше, когда угол находится вблизи одной из диагоналей. Действительно подумайте надписать круг внутри квадрата; площадь, охватываемая заданным крошечным углом внутри круга, является постоянной, и затем часть вне круга увеличивается по мере приближения к диагонали, где она максимальна.$df_\theta$$d\theta$

Это полностью объясняет шаблон, который вы видите в симуляциях.

Действительно, мы можем видеть, что плотность должна быть пропорциональна длине отрезка от центра квадрата до его края; простой тригонометрии достаточно, чтобы получить плотность оттуда, и тогда легко найти постоянную, необходимую для интегрирования плотности в 1.

[Изменить: добавлен следующий бит для обсуждения радиуса, поскольку вопрос изменился с момента моего первоначального ответа.]

Обратите внимание, что если бы мы имели равномерное распределение по единичной окружности (то есть той, которую мы вписали в квадрат раньше), то плотность радиуса для этого была бы пропорциональна радиусу (рассмотрим площадь небольшого кольцевого элемента шириной при радиус - т.е. между и - имеет площадь, пропорциональную ). Затем, когда мы выходим за пределы круга, новые кольцевые области с большим радиусом получают вклады плотности только от части в квадрате, поэтому плотность уменьшается (сначала довольно быстро, затем медленнее) между и . (Опять же, достаточно простых геометрических понятий достаточно, чтобы получить функциональную форму плотности, если это необходимо.)$dr$$r$$r$$r+dr$$r$$1$$\sqrt 2$

---

Напротив, если совместное распределение является вращательно-симметричным относительно начала координат, тогда элемент вероятности под некоторым углом не зависит от угла (это по сути тавтология!). Бивариатное распределение двух независимых стандартных гауссианов вращательно-симметрично относительно начала координат:

(код этого изображения на основе кода Elan Коэна здесь , но есть хорошая альтернатива здесь , и что - то между ними здесь )

Следовательно, объем, содержащийся в некотором угле одинаков для каждого , поэтому плотность, связанная с этим углом, является постоянной на .$d\theta$$\theta$$[0,2\pi)$

[Полярный трюк, обычно используемый для интегрирования нормальной плотности по реальной линии, может быть использован для выяснения того, что плотность квадрата радиуса является отрицательной экспоненциальной, и отсюда плотность радиуса легко определить с помощью простого аргумента преобразования из функция распределения]

Я отвечу на вопрос о нормальном случае, приводящем к равномерному распределению. Хорошо известно, что если и Y независимы и нормально распределены, контуры с постоянной плотностью вероятности представляют собой окружность в плоскости x - y . Радиус R = $X$$Y$$x-y$ имеетраспределение Рэлея. Для хорошего обсуждения этого в статье в Википедии под названием Рэли распределения.$R= \sqrt{X^2+ Y^2}$

Теперь давайте посмотрим на случайные величины и Y, используя полярные координаты.$X$$Y$

, Y = r sin ( θ ) . обратите внимание, что X 2 + Y 2 = r 2 . Если θ равномерно на ( 0 , 2 π ) и r имеет распределение Рэлея, то X и Y будут независимыми нормалями, каждая из которых имеетсреднее значение 0 и общую дисперсию. Обратное также верно. Доказательство обратного - это то, что, по моему мнению, ФП хочет получить как ответ на вторую часть вопроса.$X = r\cos(\theta)$$Y = r \sin(\theta)$$X^2 +Y^2= r^2$$\theta$$(0,2 \pi)$$r$$X$$Y$$0$

Вот набросок доказательства. Без ограничения общности можно предположить, что распределено N ( 0 , 1 ), а Y распределено N ( 0 , 1 ) и не зависит друг от друга.$X$$N(0,1)$$Y$$N(0,1)$

Тогда совместная плотность . Используйте преобразование в полярные координаты, чтобы получить g ( r , θ ) . Поскольку x = r sin ( θ ) и y = r cos ( θ ) . Так $f(x,y) = (1/2 \pi)\exp[(-[x^2 +y^2])/2]$$g(r, \theta)$$x = r \sin(\theta)$$y = r \cos(\theta)$ иθ=арктан(х/у). Вычислить якобиан преобразования и сделать соответствующую замену наf(x,y). в результатеg(r,θ)будетrexp[(-r2)/(2π)]дляr≥0и0≤θ$r= \sqrt{x^2 + y^2}$$\theta = \arctan(x/y)$$f(x,y)$$g(r, \theta)$$r \exp[(-r^2)/(2 \pi)]$$r\geq0$ . Это показывает, что r и тета не зависят от r, имеющего распределение Рэлея, а тета имеет постоянную плотность 1 / ( 2 π ) .$0\leq\theta\leq 2 \pi$$r$$r$$1/(2 \pi)$

Чтобы завершить довольно хорошие ответы, данные Гленом и Майклом, я просто вычислю плотность когда распределение ( X , Y ) равномерно по квадрату [ - 1 , 1 ] × [ - 1 , 1 ] . Эта равномерная плотность равна $\theta$$(X,Y)$$[-1,1]\times[-1,1]$ на этом квадрате,0 вдругом месте - то есть вероятность выборки точки в данной области квадрата равна$1 \over 4$$0$ площадь этого региона.$1 \over 4$

Область интереса для нашего вопроса - красный сектор на этом рисунке:

$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$$\theta + d\theta$$\theta$

$\theta\in \left[ -{\pi \over 4}, {\pi\over 4}\right]$$\pi\over 2$

$1\over \cos\theta$

$${1\over \cos(\theta + d\theta)} = {1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta.$$

$a$$b$$\alpha$${1\over 2}ab\sin\alpha$

$${1\over 2} \left({1\over \cos\theta} \right) \left({1\over \cos\theta} + {\sin \theta \over \cos^2\theta} d\theta\right) \sin d\theta = {d\theta \over 2\cos^2 \theta}$$ (we neglect higher powers of $d\theta$ and use $\sin d \theta= d\theta$).

Thus the density of $\theta$ is

$${1\over 8 \cos^2 \theta}$$ for $\theta$ in $\left[-{\pi\over 4},{\pi\over 4}\right]$, and is $\pi\over 2$ periodic.

Verification:

x <- runif(1e6, -1, 1)
y <- runif(1e6, -1, 1)
hist( atan2(y,x), freq=FALSE, breaks=100)
theta <- seq(-pi, pi, length=500)
lines(theta, 0.125/cos((theta + pi/4)%%(pi/2) - pi/4)**2, col="red" )