Вы имеете в виду преобразование пары независимых переменных в полярное представление (радиус и угол), а затем смотрите на предельное распределение .(X,Y)(R,θ)θ
Я собираюсь предложить несколько интуитивное объяснение (хотя математический вывод плотности по существу делает то, что я описываю неформально).
Обратите внимание, что если вы масштабируете две переменные, X и Y по некоторой общей шкале (например, переходите от U (-1,1) к U (-10,10) или от N (0,1) до N (0,20) на обе переменные одновременно) это не имеет никакого значения для распределения угла (это влияет только на масштаб распределения радиуса). Итак, давайте просто рассмотрим единичные случаи.
Сначала рассмотрим, что происходит с единообразным делом. Обратите внимание, что распределение равномерно по единичному квадрату, так что плотность вероятности в области, которая содержится в пределах , пропорциональна площади области. В частности, посмотрите на плотность, связанную с элементом угла вблизи горизонтали (вблизи угла ) и диагонали (вблизи угла ):[−1,1]2dθθ=0θ=π/4
Ясно, что элемент вероятности (т.е. площадь), соответствующий элементу угла ( ), больше, когда угол находится вблизи одной из диагоналей. Действительно подумайте надписать круг внутри квадрата; площадь, охватываемая заданным крошечным углом внутри круга, является постоянной, и затем часть вне круга увеличивается по мере приближения к диагонали, где она максимальна.dfθdθ
Это полностью объясняет шаблон, который вы видите в симуляциях.
Действительно, мы можем видеть, что плотность должна быть пропорциональна длине отрезка от центра квадрата до его края; простой тригонометрии достаточно, чтобы получить плотность оттуда, и тогда легко найти постоянную, необходимую для интегрирования плотности в 1.
[Изменить: добавлен следующий бит для обсуждения радиуса, поскольку вопрос изменился с момента моего первоначального ответа.]
Обратите внимание, что если бы мы имели равномерное распределение по единичной окружности (то есть той, которую мы вписали в квадрат раньше), то плотность радиуса для этого была бы пропорциональна радиусу (рассмотрим площадь небольшого кольцевого элемента шириной при радиус - т.е. между и - имеет площадь, пропорциональную ). Затем, когда мы выходим за пределы круга, новые кольцевые области с большим радиусом получают вклады плотности только от части в квадрате, поэтому плотность уменьшается (сначала довольно быстро, затем медленнее) между и . (Опять же, достаточно простых геометрических понятий достаточно, чтобы получить функциональную форму плотности, если это необходимо.)drrrr+drr12–√
Напротив, если совместное распределение является вращательно-симметричным относительно начала координат, тогда элемент вероятности под некоторым углом не зависит от угла (это по сути тавтология!). Бивариатное распределение двух независимых стандартных гауссианов вращательно-симметрично относительно начала координат:
(код этого изображения на основе кода Elan Коэна здесь , но есть хорошая альтернатива здесь , и что - то между ними здесь )
Следовательно, объем, содержащийся в некотором угле одинаков для каждого , поэтому плотность, связанная с этим углом, является постоянной на .dθθ[0,2π)
[Полярный трюк, обычно используемый для интегрирования нормальной плотности по реальной линии, может быть использован для выяснения того, что плотность квадрата радиуса является отрицательной экспоненциальной, и отсюда плотность радиуса легко определить с помощью простого аргумента преобразования из функция распределения]