Обратная проблема дня рождения: ни одна пара из 1 миллиона иностранцев не разделяет день рождения; какова их продолжительность года?

Предположим, планета с очень очень длинным годом дней. На вечеринке в комнате 1 миллион пришельцев, и ни у кого нет дня рождения. Что можно сделать из размера ? $N$ $N$

(Этот более компактный вопрос заменяет этот плохо сформулированный. )

probability birthday-paradox

— Пол Ушак
источник

Проблема дня рождения сообщает вам значение N, где вероятность хотя бы одного совпадения больше указанного значения. Когда p = 1/2, для интуиции удивительно, что это дает n = 23. Это предполагает, что каждый день рождения имеет одинаковую равномерную вероятность (1/365). Неоднородность только делает n меньше. Теперь в вашей проблеме кажется, что N заменяет 365, и я предполагаю, что предположение о равномерности сохраняется.

— Майкл Р. Черник

Если N <= 1 000 000, то как минимум 1 совпадение имеет вероятность = 1, и поэтому 0 совпадений имеет вероятность = 0.

— Майкл Р. Черник

Поэтому, когда N> 1 000 000, вероятность по меньшей мере 1 совпадения имеет вероятность <1, и, следовательно, вероятность нулевого совпадения начинает увеличиваться.

— Майкл Р. Черник

@Michael. Пожалуйста, оставляйте комментарии для запросов на разъяснения и другие непредвиденные обсуждения и старайтесь публиковать только по одному: есть веская причина для ограничения количества символов. Если вы обнаружите, что обсуждаете что-то существенное, что требует нескольких комментариев, вы, вероятно, пытаетесь ответить на вопрос, так что вы могли бы также опубликовать ответ.

— whuber

Если предположить, что все дни рождения одинаково вероятны, а дни рождения независимы, вероятность того, что иностранцы не разделят день рождения, $k+1$

p (k; N) = 1 (1 - \frac{1}{N}) (1 - \frac{2}{N}) \dots (1 - \frac{k}{N}) .

$p(k;N) = 1\left(1-\frac{1}{N}\right)\left(1-\frac{2}{N}\right)\cdots\left(1-\frac{k}{N}\right).$

Его логарифм можно суммировать асимптотически при условии, что намного меньше : $k$ $N$

\begin{matrix} (1) & \log (p (k; N)) = - \frac{k (k + 1)}{2 N} - \frac{k + 3 k^{2} + 2 k^{3}}{12 N^{2}} - O (k^{4} N^{- 3}) . \end{matrix}

$\log(p(k;N)) = -\frac{k(k+1)}{2N} - \frac{k + 3k^2 + 2k^3}{12N^2} - O(k^4 N^{-3}).\tag{1}$

Чтобы быть что не меньше некоторого значения , нам нужно, чтобы было больше, чем . Небольшая гарантирует, что намного больше , поэтому мы можем точно аппроксимировать как . Это дает $100-100\alpha\%$ $N$ $N^{*}$ $(1)$ $\log(1-\alpha)$ $\alpha$ $N$ $k$ $(1)$ $-k^2/(2N)$

- \frac{k^{2}}{2 N} > \log (1 - α),

$-\frac{k^2}{2N} \gt \log(1-\alpha),$

подразумевая

\begin{matrix} (2) & N > \frac{- k^{2}}{2 \log (1 - α)} \approx \frac{k^{2}}{2 α} = N^{*} \end{matrix}

$N \gt\frac{-k^2}{2\log(1-\alpha)} \approx \frac{k^2}{2\alpha}=N^{*}\tag{2}$

для маленьких . $\alpha$

Например, при как в вопросе, и (условное значение, соответствующее доверию ), дает . $k=10^6-1$ $\alpha=0.05$ $95\%$ $(2)$ $N \gt 10^{13}$

Вот более обширная интерпретация этого результата. Без аппроксимации в формуле получаем . Для этого вероятность отсутствия столкновения за миллион дней рождения составляет (вычислено без приближения), по существу равное нашему порогу . Таким образом, для любого такого большого или большего, или более вероятно, что столкновений не будет, что согласуется с тем, что мы знаем, но для любого меньшего вероятность столкновения становится выше , что начинает делать убоимся мы могли бы недооценивать . $(2)$ $N=9.74786\times 10^{12}$ $N$ $p(10^6-1, 9.74786\times 10^{12})=95.0000\ldots\%$ $95\%$ $N$ $95\%$ $N$ $100 - 95= 5\%$ $N$

В качестве другого примера, в традиционных проблемах Birthday есть вероятность не столкновений в людям и шансов не столкновения в человеку. Эти цифры предполагают, что должно превышать и , соответственно, прямо в диапазоне правильного значения . Это показывает, насколько точными могут быть эти приблизительные, асимптотические результаты даже при очень малых (при условии, что мы придерживаемся small ). $4\%$ $k=6$ $5.6\%$ $k=7$ $N$ $360$ $490$ $366$ $k$ $\alpha$

— Whuber
источник

Я не был готов дать такой ответ. С числами это большое приближение может быть легче вычислить. Википедия дает обобщенную проблему дня рождения, показывающую приближения и границы для N с k людьми (инопланетянами). У меня была та же формула, что и у вашего первого уравнения.

— Майкл Р. Черник

Мой вопрос заключается в том, насколько большим должен быть N, чтобы достичь 100% уверенности. Я думаю, что это что-то вроде 10 ^ 18.

— Майкл Р. Черник

@MichaelChernick Для 100% уверенности N уходит в бесконечность. В течение любого конечного года и для любой партии с 2 или более иностранцами вероятность того, что два иностранца с одним и тем же днем рождения, всегда больше 0.

— Пер

@Pere Да, спасибо, что увидели это. Я исправлю это прямо сейчас. Это не имело никакого значения к остальной части поста.

— whuber

@Paul Uszak Я думаю, что ваш комментарий об ответе Пере (теперь удаленном) был слишком резким. Я думаю, что его ответ был дан добросовестно. Он пытался быть полезным для вас, предоставляя полезные приближения. Позже он увидел ответ Уубера и решил, что он был более полным, и согласился удалить свой ответ. Его комментарий о том, что он не ожидает подробного ответа, не подразумевал того, как вы его интерпретировали. Это сложная проблема. Вам даже пришлось переписать пост, чтобы сделать его понятным. Я уверен, что он не воспринимает решение такой проблемы как шутку.

— Майкл Р. Черник