Простой вопрос комбинации / вероятности, основанный на длине строки и возможных символах

Предполагая «полную случайность» и получая строку длиной 20 символов, где каждый символ может быть одним из 62 возможных символов:

Какое общее количество возможных комбинаций? (Угадай 20 до степени 62.)
Кроме того, если новые строки выбираются случайным образом одна за другой и добавляются в список выбранных строк, сколько строк должно быть выбрано до того, как вероятность выбора строки, которая уже была выбрана, будет ниже 1 в 100000 ( $10^{-5}$ )

Примечание: 62 состоит из: цифровых цифр (0-9), заглавных букв (AZ) и строчных букв (az).

probability combinatorics

— просчеты
источник

Ваш второй пункт может быть прочитан (по крайней мере) двумя возможными способами. Мне интересно, что вас интересует. ( 1 ) Вероятность того, что

n

$n$ я строка соответствует одной из предыдущих строк, или ( 2 ) Вероятность того, что к моменту выбора

n

$n$ й строки в коллекции будет какой-то дубликат строк, нарисованных до сих пор. Ответы на эти два вопроса будут очень разными. :)

— кардинал

Возможно, учитывая двухсимвольный алфавит, разница будет ясна. Пусть буквы будут

. Мы можем спросить: ( 1 ) Для какого

у нас есть по крайней мере 99% шанс того, что

я строка будет дубликатом предыдущей строки? Здесь

равно 8, поскольку единственный способ, которым мы терпим неудачу, - это если наша последовательность либо

либо

, которая имеет общую вероятность

. Или мы спрашиваем ( 2 ) Для чего

H

$H$

T

$T$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

T T T \dots T H

$TTT \cdots TH$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

2^{- (n - 1)}

$2^{-(n-1)}$

ли у нас хотя бы 99% шанс увидеть дубликаты? В этом случае

поскольку к тому времени, когда мы увидели три строки,

или

были повторены, по крайней мере, один раз.

n

$n$

n = 3

$n = 3$

H

$H$

T

$T$

— кардинал

Ответ Мэтта обрабатывает ( 1 ), что, по сути, отвечает на вопрос о том, соответствует ли «моя» строка чужой. Но, если вы беспокоитесь о строках некоторых других двух людей также потенциально подходящих, вы заинтересованы в ( 2 ). Все сводится к тому, есть ли у вас интересующая вас строка, с которой вы сравниваете все остальные, или вы сравниваете все строки друг с другом. Я не уверен, что я делаю это более ясным, хотя. (Ваша проблема сводится к одному из двух вариантов знаменитой так называемой «проблемы дня рождения».)

— Кардинал

Кардинал, как обычно, прав. Я предположил, что у вас была одна «целевая» строка, для которой вы генерировали список догадок. Если вместо этого вы генерируете строки в произвольном порядке и хотите знать число, которое можно сгенерировать до совпадения любых двух строк, тогда ответ на самом деле будет совершенно другим. Я исправлю свой ответ, чтобы рассмотреть это дело, если с тобой все в порядке.

— Мэтт Краузе

Я не совсем ясно изложил свой предыдущий пример. Прости за это. Я думал о двухбуквенном алфавите

и рисовал строки одной длины . Поэтому, когда я писал

, стоявшим на

, ...,

{H, T}

$\{H,T\}$

H H H \dots H T

$HHH\cdots HT$

s_{1} = H

$s_1 = H$

s_{2} = H

$s_2 = H$

s_{n - 1} = H

$s_{n-1} = H$

s_{n} = T

$s_n = T$

— кардинал

Общее количество возможностей

1) Закрыть! У вас есть 62 вариантов для первого символа, 62 для 2 - го и т.д., так что вы в конечном итоге с , что абсурдно огромное количество. $62 \cdot 62 \cdot 62 \cdot \cdots 62 = 62^{20}$

Столкновение со строкой «Target»

2) Как мы установили выше, существует потенциальных строк. Вы хотите знать, сколько вам нужно угадать, чтобы иметь больше, чем 1 на 100 000 шансов угадать «целевую» строку. По сути, вы спрашиваете, что $62^{20}$ Чтобы получить точный результат, вам нужно округлить х (или добавить один, если они точно равны), но, как вы увидите через секунду, это не имеет значения.

\frac{x}{62^{20}} \geq \frac{1}{10^{5}}

$\frac{x}{62^{20}} \ge \frac{1}{10^5}$

Посредством базовой алгебры мы можем изменить это как

\begin{aligned} 10^{5} x & \geq 62^{20} \\ 10^{5} x & \geq (6.2 \cdot 10)^{20} \\ 10^{5} x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{20} \\ x & \geq {6.2}^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}

$\begin{aligned} 10^5x &\ge 62^{20}\\ 10^5{x} &\ge (6.2 \cdot 10)^{20}\\ 10^5x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{20}\\ x &\ge 6.2^{20} \cdot 10^{15} \end{aligned}$

$6.2^{20}$ $7 \cdot 10^{15}$ $7 \cdot 10^{30}$

Именно поэтому длинные пароли работают очень хорошо :-) Для реальных паролей, конечно, вам нужно беспокоиться о строках длиной не более двадцати, что увеличивает количество возможностей еще больше.

Дубликаты в списке

Теперь давайте рассмотрим другой сценарий. Строки генерируются случайным образом, и мы хотим определить, сколько можно сгенерировать до того, как появится шанс совпадения любых двух строк 1: 100 000. Классическая версия этой проблемы называется проблемой дня рождения (или «парадоксом») и спрашивает, какова вероятность того, что двое из n человек имеют одинаковый день рождения. Статья в Википедии [1] выглядит прилично и содержит несколько таблиц, которые могут оказаться полезными. Тем не менее, я постараюсь дать вам ответ на этот вопрос здесь.

Некоторые вещи, которые нужно иметь в виду:

$P(\textrm{match}) = 1 - P(\textrm{no match})$

$A$ $B$ $P(A \& B) = P(A) \cdot P(B)$

$k$ $k$ $N$ $62^{20}$

$k$ $N$ $P_{k=1}(\textrm{no match}) = \frac{N}{N} = 1$ $N$ $P_{k=2}(\textrm{no match}) = \frac{N-1}{N}$ $N-2$ $P_{k=3}(\textrm{no match}) = \frac{N-2}{N}$ $k$

P_{k} (no match) = \frac{N - k + 1}{N}

$P_{k}(\textrm{no match})= \frac{N-k+1}{N}$

$k$

P (No Matches) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N - 1}{N} \cdot \frac{N - 2}{N} \dots \frac{N - k + 1}{N}

$P(\textrm{No Matches}) = \frac{N}{N} \cdot \frac{N-1}{N} \cdot \frac{N-2}{N} \cdots \frac{N-k+1}{N}$

\begin{aligned} P (No Matches) & = \frac{N \cdot (N - 1) \cdot (N - 2) \dots (N - k + 1)}{N^{k}} \\ P (No Matches) & = \frac{N!}{N^{k} \cdot (N - k)!} \\ P (No Matches) & = \frac{k! \cdot (\binom{N}{k})}{N^{k}} \end{aligned}

$\begin{aligned} P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N \cdot (N-1) \cdot (N-2) \cdots (N-k+1)}{N^k} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{N!}{N^k \cdot (N-k)!} \\ P(\textrm{No Matches}) &= \frac{k! \cdot \binom{N}{k}}{N^k} \\ \end{aligned}$

k! = (k) \cdot (k - 1) \cdot (k - 2) \dots 1

$k! = (k) \cdot (k-1) \cdot (k-2) \cdots 1$

N - k + 1 \dots N

$N-k+1 \cdots N$

k

$k$

\frac{1}{100, 000}

$\frac{1}{100,000}$

k

$k$

100!

$100!$

k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2 N \ln (p)}

$k = 0.5 + \sqrt{0.25 - 2N\ln(p)}$

N = 48, 000

$N=48,000$

3.7 \cdot 10^{15}

$3.7 \cdot 10^{15}$

Ссылки

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Birthday_problem

[2] Матис, Фрэнк Х. (июнь 1991 г.). «Обобщенная проблема дня рождения». SIAM Review (Общество по промышленной и прикладной математике) 33 (2): 265–270. JSTOR Ссылка

— Мэтт Краузе
источник

+1 Удивительно, учитывая, что мои плохие математические навыки привели к тому, что я задал вопрос, поэтому я оставлю вопрос без ответа на один день, но выгляжу хорошо для меня, и мне гораздо яснее ответ, чем я ожидал - спасибо!

— промахи

Рад помочь! Дайте мне знать, если что-то неясно. Для ударов я побежал номера. Вам понадобится 7044234255469980229683302646164 догадок; как я уже сказал - много!

— Мэтт Краузе

+1 @Matt Krause: +1 к вашему комментарию под ответом; Ваш ответ и стремление дать лучший ответ возможны, достойны внимания и благодарят вас за всю вашу тяжелую работу!

— промахи