Логистическая регрессия для данных из распределений Пуассона

Из некоторых заметок машинного обучения, говорящих о некоторых дискриминационных методах классификации, в частности о логистической регрессии, где у - метка класса (0 или 1), а х - данные, говорится, что:

если $x|y = 0 \sim \mathrm{Poisson}(λ_0)$ и $x|y = 1 \sim \mathrm{Poisson}(λ_1)$ , то $p(y|x)$ будет логистическим.

Почему это правда?

$Y$ имеет два возможных значения для любого заданного значения $X$ . Согласно предположениям,

$$\Pr(X=x|Y=0) = \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}$$

и

$$\Pr(X=x|Y=1) = \exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}.$$

Поэтому (это тривиальный случай теоремы Байеса) вероятность того, что обусловленная на является относительной вероятностью последнего, а именно$Y=1$$X=x$

$$\Pr(Y=1|X=x) = \frac{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!}}{\exp(-\lambda_1) \frac{\lambda_1^x}{x!} + \exp(-\lambda_0) \frac{\lambda_0^x}{x!}}= \frac{1}{1 + \exp(\beta_0 + \beta_1 x)}$$

где

$$\beta_0 = \lambda_1 - \lambda_0$$

и

$$\beta_1 = -\log(\lambda_1/\lambda_0).$$

Это действительно стандартная модель логистической регрессии.