Всегда ли две стандартные нормальные случайные величины независимы?

16

Я узнал, что стандартное нормальное распределение уникально, потому что среднее значение и дисперсия зафиксированы на 0 и 1 соответственно. В связи с этим мне интересно, должны ли какие-либо две стандартные случайные величины быть независимыми.

normal-distribution independence

— C.Hawk
источник

12

Почему они должны быть ..? Независимость не имеет ничего общего с распределением.

— Тим

27

Рассмотрим

и

. Они не независимы.

X

$X$

X

$X$

— Джечлин

Вы можете найти это полезным с практической точки зрения. stats.stackexchange.com/questions/15011/…

— JustGettinStarted

В дополнение к хорошим примерам, приведенным выше, рассмотрим в общем случае двумерное нормальное распределение с N (0 ,!) маргинальными распределениями. Возможна любая корреляция между -1 и 1. Все приведенные ниже примеры являются частными случаями. Кроме того, две стандартные нормальные переменные могут быть зависимыми, но не иметь двумерного распределения.

— Майкл Р. Черник

1

Я заметил, что Бэтмен дает общий результат, который может совпадать с тем, что я предлагаю. Случай Y = -X имеет корреляцию -1 и, следовательно, является вырожденной формой двумерного нормали. Я не видел здесь примера (в этом посте), который иллюстрирует случай, который не является двумерным нормальным.

— Майкл Р. Черник

42

Ответ - нет. Например, если является стандартной случайной величиной, то следует той же статистике, но и явно зависят. $X$ $Y=-X$ $X$ $Y$

— затирать
источник

26

Нет, нет оснований полагать, что любые два стандартных гауссиана независимы.

Вот простая математическая конструкция. Предположим, что и - две независимые стандартные нормальные переменные. Тогда пара $X$ $Y$

X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}

$X, \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$

две зависимые стандартные нормальные переменные. Таким образом, пока они являются двумя независимыми нормальными переменными, должно быть две зависимые .

$\sqrt{2}$ $1$

V (\frac{X + Y}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{{\sqrt{2}}^{2}} (V (X) + V (Y)) = 1

$V \left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}^2} (V(X) + V(Y)) = 1$

$X$ $X = x$

E [\frac{X + Y}{\sqrt{2}} ∣ X = x] = \frac{x}{\sqrt{2}}

$E \left[\frac{X + Y}{\sqrt{2}} \mid X = x \right] = \frac{x}{\sqrt{2}}$

— Мэтью Друри
источник

7

Вот довольно широкий ответ:

$X,Y$ $a,b$ $a X + bY$ $X$ $Y$ $E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=0$

$\Sigma=\begin{bmatrix} 1 & p \\ p & 1 \end{bmatrix}$ $(\lambda-1)^2 - p^2$ has positive roots in $\lambda$ . Then, apply the Cholesky decompositon to $\Sigma= R R^T$ . Then, take two independent standard normal random variables $U,V$ and then the vector $R \begin{bmatrix} U \\ V \end{bmatrix}$ has standard normal components, but the components are independent if and only if $p=0$ .

— Batman
источник

5

A non-bivariate normal example (as Michael Chernick suggests in the comments):

Let $f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi} e^{-\frac{x^2+y^2}{2}} & xy\geq 0 \\ 0 & o.w. \end{cases}$ .

This is not a bivariate normal distribution, but a simple integral shows that both marginals are standard normal. They're obviously not independent since $f_{X,Y}(x,y) \neq f_X(x) f_Y(y)$ .

— Batman
источник