Является ли каждый нестационарный ряд преобразованным в стационарный ряд посредством дифференцирования

Можно ли преобразовать каждый нестационарный временной ряд в стационарный временной ряд, применяя разность? Кроме того, как вы решаете порядок применения дифференцирования?

Разница только с интервалами 1,2 ... n, и вы каждый раз выполняете проверку единичного корня для определения стационарности полученного ряда?

time-series stationarity

— Виктор
источник

Ответы:

Нет. Как контрпример, пусть - любая случайная величина, и пусть временной ряд имеет значение в момент времени . разности по времени представляет собой линейную комбинацию $X$ $\exp(t X)$ $t$ $k^\text{th}$ $i=0, 1, 2, \ldots$

Δ^{k} (i) = \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp ((i + j) X) = \exp (i X) \sum_{j = 0}^{k} w_{j} \exp (j X) = \exp (i X) Δ^{k} (0) .

$\Delta^k(i) = \sum_{j=0}^k w_j \exp((i+j)X) = \exp(iX) \sum_{j=0}^k w_j \exp(jX) = \exp(iX) \Delta^k(0).$

$w_j$ $X$ $k^\text{th}$

— Whuber
источник

Итак, учитывая временной ряд (линейный), как узнать, можно ли его когда-либо дифференцировать для образования стационарного ряда?

— Виктор

Пожалуйста, объясните, что вы подразумеваете под «линейным» временным рядом. В общем, процесс подбора модели AR сводится к оценке количества разностей, необходимых для того, чтобы сделать серию стационарной.

— whuber

Спасибо .. дай мне подумать об этом. Я не знаю, сколько я не знаю

— Виктор

По-видимому, это является следствием того факта, что экспоненциальная функция является ее собственной производной, и это сразу же наводит меня на мысль, что временной ряд можно сделать стационарным путем многократного дифференцирования, если и только если «истинная» функция, которую она моделирует, является полиномом ( или, что эквивалентно, его разложение в ряд Тейлора конечно).

— Звол

@zwol Это хорошее понимание - и именно поэтому первым пришел на ум экспоненциальный контрпример - но это только часть истории. Если ожидание является полиномиальной функцией времени, то достаточная разность сделает временной ряд первого порядка стационарным, то есть первые моменты распределений будут неизменными во времени. Однако дифференцирование не обязательно сделает более высокие моменты или многовариантные моменты постоянными.

— whuber

Ответ от whuber правильный; Есть много временных рядов, которые нельзя сделать стационарными с помощью разностей. Несмотря на то, что это отвечает на ваш вопрос в строгом смысле, возможно, также стоит отметить, что в широком классе моделей ARIMA с белым шумом, разностное преобразование может превратить их в модели ARMA, и последние являются (асимптотически) стационарными, когда оставшиеся корни авторегрессивный характеристический полином находится внутри единичного круга. Если вы укажете соответствующее начальное распределение для наблюдаемого ряда, равное стационарному распределению, вы получите строго стационарный процесс временных рядов .

Так что, как правило, нет, не каждый временной ряд можно преобразовать в стационарный ряд путем дифференцирования. Однако, если вы ограничиваете область действия широким классом моделей временных рядов в классе ARIMA с белым шумом и соответствующим образом заданным начальным распределением (и другими корнями AR внутри единичного круга), тогда да, для получения стационарности можно использовать разность.

— Бен - Восстановить Монику
источник

+1 Возможно, для некоторых (многих?) Приложений это более полезный ответ, чем чисто теоретический, который я предложил.

— whuber

Да, я думаю, что иногда это вопрос «Вот ответ на ваш вопрос, а теперь вот ответ на другой вопрос, который вы также должны были задать».

— Бен - Восстановить Монику