Использование

Предположим, что у меня есть iid и я хочу сделать проверку гипотезы, что равно 0. Предположим, у меня большое n и я могу использовать центральную предельную теорему. Я также мог бы проверить, что равно 0, что должно быть эквивалентно проверке, что равно 0. Кроме того, сходится к хи-квадрату, где сходится к нормали. Поскольку имеет более высокую скорость сходимости, я не должен использовать это для статистики теста, и, таким образом, я получу более высокую скорость сходимости, и тест будет более эффективным? $X_1,\ldots,X_n$ $\mu$ $\mu^2$ $\mu$ $n(\bar{X}^2 - 0)$ $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ $\bar{X}^2$

Я знаю, что эта логика неверна, но я долго думал и искал и не могу понять, почему.

hypothesis-testing convergence delta-method

— Сюй Ван
источник

Не понятно, о чем вы спрашиваете. Не могли бы вы объяснить, в каком смысле скорость сходимости

«выше», чем скорость

? Как вы измеряете скорость? Какую статистику тестов вы используете в двух тестах? Очевидно, что этот выбор может иметь значение.

{\bar{X}}^{2}

$\bar X^2$

\bar{X}

$\bar X$

— whuber

@whuber спасибо за вопросы. Я утверждаю «более высокая скорость», потому что n больше, чем квадратный корень из n. Это неверная интуиция? Я имею в виду тест статистики X-bar или X-bar в квадрате.

— Сюй Ван

Я думаю, что вы сосредоточены на неправильной вещи. Эта скорость говорит о том, как быстро распределение выборки приближается к предельному - либо стандартное нормальное значение, либо

. Поскольку

большое, его значение не имеет практического значения - оно не имеет значения. Проблема заключается в силе каждого теста, а не в том, насколько хорошо аппроксимирована статистика теста для предельного распределения.

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

n

$n$

— whuber

@whuber спасибо за эти детали. Я думал о них, но все еще не понимаю. Не будет ли приблизительная дисперсия X-bar ^ 2 в конечном итоге меньше, чем приблизительная дисперсия X-bar? И разве это не результат того, что X-bar ^ 2 имеет более высокую скорость сходимости, чем X-bar? Я извиняюсь за то, что не вижу моих фундаментальных недоразумений. Я знаю, что есть что-то большое, что мне не хватает, и надеюсь исправить это мышление.

— Сюй Ван

Не имеет значения, является ли приблизительная дисперсия большей или меньшей, потому что учитывается распределение статистики. Чтобы убедиться в этом, рассмотрим t-критерий для

. Статистика

всегда имеет дисперсию в 100 раз больше, чем

, но нормализация приводит к распределению обеих фактических статистических данных

. В вашем случае помните, что квадрат

μ = 0

$\mu = 0$

x \sim N (0, 1)

$x \sim N(0,1)$

y \sim N (0, 10)

$y \sim N(0,10)$

\bar{y}

$\bar{y}$

\bar{x}

$\bar{x}$

t (n - 1)

$t(n-1)$

переменная дает переменную

. В пределе это преобразование означает, что оба теста идентичны с точки зрения их мощности при заданном уровне.

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2}

$\chi^2$

— Jbowman

Оба теста, которые вы описываете, эквивалентны.

Если у меня есть две гипотезы:

H_{0} : μ = 0

$H_0: \mu=0$

H_{1} : μ \neq 0

$H_1: \mu\neq0$

тогда они эквивалентны

H_{0} : μ^{2} = 0

$H_0: \mu^2=0$

H_{1} : μ^{2} > 0.

$H_1: \mu^2\gt 0.$

Если известно, что данные являются нормальными, то выборка означает $\bar{X}$ $\mu$ $\sigma^2/n$

Если данные не известны как нормальные, то вы можете использовать центральную предельную теорему, и приведенное выше будет асимптотически верно. Вы утверждаете, что $\bar{X}^2$ $\bar{X}$ $n$

P (| \bar{X} - μ | > | {\bar{X}}^{2} - μ^{2} |) \to 1

$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$

$\bar{X}$ $\chi^2$

— JDL
источник