Почему OLS-оценка коэффициента AR (1) смещена?

Я пытаюсь понять, почему OLS дает необъективную оценку процесса AR (1). Рассмотрим В этой модели строгая экзогенность нарушается, т. е. и коррелируют, а и не коррелированы. Но если это правда, то почему следующий простой вывод не выполняется? утεтут-1εтPlim

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Как по существу обсуждается в комментариях, беспристрастность является конечным свойством выборки, и если бы оно имело место, оно было бы выражено как

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(где ожидаемое значение является первым моментом распределения конечной выборки)

в то время как согласованность является асимптотическим свойством, выраженным как

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OP показывает, что, хотя OLS в этом контексте является предвзятой, она все еще непротиворечива.

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

Здесь нет противоречий.

@Alecos прекрасно объясняет, почему правильное правило и непредвзятость не одно и то же. Что касается основной причины, по которой оценка не является беспристрастной, напомним, что беспристрастность оценки требует, чтобы все члены ошибки были средними и независимыми от всех значений регрессора, .$E(\epsilon|X)=0$

В данном случае матрица регрессора состоит из значений , так что - см. Комментарий mpiktas - условие переводится в E ( ϵ s | y 1 , … , y T - 1 ) = 0 для всех х = 2 , ... , T .$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

Здесь мы имеем

даже в предположении Е ( ε т у т - 1 ) = 0 мы имеемчто Е ( ε т у т ) = Е ( ε т ( β у т - 1 + ε т ) ) = E ( ε 2 т ) ≠ 0. Но,

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ также является регрессором для будущих значений в модели AR, так как y t + 1 = β y t + ϵ t + 1 .$y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

Расширяя два хороших ответа. Запишите оценку OLS:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

Для непредвзятости нам нужно

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$