Двухмерная демонстрация с игрушечными данными будет использована для объяснения того, что происходило для идеального разделения при логистической регрессии с регуляризацией и без нее. Эксперименты начались с перекрывающегося набора данных, и мы постепенно разделили два класса. Контур и оптимум целевой функции (логистические потери) будут показаны на правой под фигуре. Данные и границы линейного решения изображены на левом вспомогательном рисунке.
Сначала мы попробуем логистическую регрессию без регуляризации.
- Как мы видим, когда данные расходятся, целевая функция (логистические потери) резко меняется, и оптимизатор отходит к большему значению .
- Когда мы завершим операцию, контур не будет «замкнутой формы». В это время целевая функция всегда будет меньше, когда решение переместится в верхний правый угол.
Далее мы попробуем логистическую регрессию с регуляризацией L2 (L1 аналогично).
С той же самой установкой добавление очень маленькой регуляризации L2 изменит целевую функцию, изменяя отношение к разделению данных.
В этом случае у нас всегда будет «выпуклая» цель. Независимо от того, насколько разделены данные.
код (я также использую тот же код для этого ответа: методы регуляризации для логистической регрессии )
set.seed(0)
d=mlbench::mlbench.2dnormals(100, 2, r=1)
x = d$x
y = ifelse(d$classes==1, 1, 0)
logistic_loss <- function(w){
p = plogis(x %*% w)
L = -y*log(p) - (1-y)*log(1-p)
LwR2 = sum(L) + lambda*t(w) %*% w
return(c(LwR2))
}
logistic_loss_gr <- function(w){
p = plogis(x %*% w)
v = t(x) %*% (p - y)
return(c(v) + 2*lambda*w)
}
w_grid_v = seq(-10, 10, 0.1)
w_grid = expand.grid(w_grid_v, w_grid_v)
lambda = 0
opt1 = optimx::optimx(c(1,1), fn=logistic_loss, gr=logistic_loss_gr, method="BFGS")
z1 = matrix(apply(w_grid,1,logistic_loss), ncol=length(w_grid_v))
lambda = 5
opt2 = optimx::optimx(c(1,1), fn=logistic_loss, method="BFGS")
z2 = matrix(apply(w_grid,1,logistic_loss), ncol=length(w_grid_v))
plot(d, xlim=c(-3,3), ylim=c(-3,3))
abline(0, -opt1$p2/opt1$p1, col='blue', lwd=2)
abline(0, -opt2$p2/opt2$p1, col='black', lwd=2)
contour(w_grid_v, w_grid_v, z1, col='blue', lwd=2, nlevels=8)
contour(w_grid_v, w_grid_v, z2, col='black', lwd=2, nlevels=8, add=T)
points(opt1$p1, opt1$p2, col='blue', pch=19)
points(opt2$p1, opt2$p2, col='black', pch=19)