Каково распределение выборочных средних распределения Коши?

14

Обычно, когда кто-то выбирает средние значения случайной выборки распределения (с размером выборки больше 30), получается нормальное распределение, центрированное вокруг среднего значения. Однако я слышал, что распределение Коши не имеет среднего значения. Какое распределение тогда получают при получении выборочных средних распределения Коши?

В основном для распределения Коши не определено, так что же такое и каково распределение ? $\mu_x$ $\mu_{\bar{x}}$ $\bar{x}$

cauchy

— Стивен Стюарт-Галлус
источник

1

Со страницы Википедии выглядит, что среднее значение выборки переменных Коши iid будет иметь то же распределение, что и сами образцы.

— GeoMatt22

19

Если - это Коши то мы можем показать, что также Коши используя характеристический аргумент функции: $X_1, \ldots, X_n$ $(0, 1)$ $\bar{X}$ $(0, 1)$

\begin{aligned} φ_{\bar{X}} (t) & = E (e^{i t \bar{X}}) \\ = E (\prod_{j = 1}^{n} e^{i t X_{j} / n}) \\ = \prod_{j = 1}^{n} E (e^{i t X_{j} / n}) \\ = E {(e^{i t X_{1} / n})}^{n} \\ = e^{- | t |} \end{aligned}

$\begin{align} \varphi_{\bar{X}}(t) &= \text{E} \left (e^{it \bar{X}} \right ) \\ &= \text{E} \left ( \prod_{j=1}^{n} e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \prod_{j=1}^{n} \text{E} \left ( e^{it X_j / n} \right ) \\ &= \text{E} \left (e^{it X_1 / n} \right )^n \\ &= e^{- |t|} \end{align}$

которая является характеристической функцией стандартного распределения Коши. Доказательство для более общего случая Коши в основном идентично. $(\mu, \sigma)$

— dsaxton
источник

7

Чтобы помочь тем, у кого могут возникнуть проблемы с соединением некоторых деталей, шаг от второй до третьей строки использует независимость, следующий использует «одинаково распределенный», следующий можно сделать несколькими способами, но проще всего увидеть что ожидание внутри степени является таким же интегралом, как и для коэффициента Коши, но в , поэтому (если вы уже знаете коэффициент для Коши) вы получите и затем сбрасывание й мощности на условий отменяется.

t / n

$t/n$

[e^{- | t / n |}]^{n}

$[e^{-|t/n|}]^n$

n

$n$

n

$n$

— Glen_b

Мне понравилось, что другой ответ также объяснил, что это означает, что это стабильный дистрибутив .

— Аполлис поддерживает Монику

5

Обычно, когда кто-то выбирает средние значения случайной выборки распределения (с размером выборки больше 30), получается нормальное распределение, центрированное вокруг среднего значения.

Не совсем. Вы думаете о центральной предельной теореме, которая гласит, что для заданной последовательности случайных величин IID с конечной дисперсией (что само по себе подразумевает конечное среднее значение ) выражение сходится по распределению к нормальному распределению, когда стремится к бесконечности. Нет гарантии, что выборочное среднее любого конечного подмножества переменных будет нормально распределено. $X_n$ $μ$ $\sqrt{n}[(X_1 + X_2 + \cdots + X_n)/n - μ]$ $n$

Однако я слышал, что распределение Коши не имеет среднего значения. Какое распределение тогда получают при получении выборочных средних распределения Коши?

Как сказал GeoMatt22, примерные средства сами будут распределяться по Коши. Другими словами, распределение Коши является устойчивым распределением .

Обратите внимание, что центральная предельная теорема не применима к распределенным случайным величинам Коши, потому что они не имеют конечного среднего и дисперсии.

— Kodiologist
источник

Мой комментарий должен был быть немного сильнее, чем «среднее значение выборки - это также Коши», потому что среднее значение выборки будет иметь те же параметры . То есть, как и для нормального распределения, параметр местоположения будет таким же, но в отличие от обычного случая, параметр масштаба также будет таким же (тогда как для нормального случая масштаб уменьшается как ) , По крайней мере, это моя интерпретация первых двух свойств преобразования, перечисленных по моей ссылке.

1 / \sqrt{N}

$1/\sqrt{N}$

— GeoMatt22

1

Вы сказали: « выборочное среднее из первых n элементов сходится в распределении к нормальному распределению, когда n уходит в бесконечность » ... не совсем так. В более слабых условиях, чем необходимо для CLT, среднее значение сходится к постоянной (по слабому закону больших чисел). Вы должны стандартизировать среднее значение, чтобы получить сходимость к нормальному распределению.

μ

$\mu$

— Glen_b

@DilipSarwate Исправлено. Не забывайте, что вы можете редактировать ответы других людей.

— Кодиолог