Каковы свойства распределения полу Коши?

В настоящее время я работаю над проблемой, в которой мне нужно разработать алгоритм Монте-Карло с цепью Маркова (MCMC) для модели пространства состояний.

Чтобы решить проблему, мне была дана следующая вероятность : p ( ) = 2I ( > 0) / (1+ ). - стандартное отклонение $\tau$ $\tau$ $\tau$ $\tau^2$ $\tau$ . $x$

Итак, теперь я знаю, что это распределение с половиной Коши, потому что я узнал его из примеров и потому, что мне так сказали. Но я не до конца понимаю, почему это дистрибутив "Half-Коши" и какие свойства идут с ним.

С точки зрения свойств я не уверен, что я хочу. Я довольно новичок в этом типе теории эконометрики. Поэтому мне важнее понять распределение и то, как мы используем его в контексте модели пространства состояний. Сама модель выглядит так:

\begin{aligned} Y_{T} & знак равно {Икс}_{T} + е_{T} \\ {Икс}_{T + 1} & знак равно {Икс}_{T} + a_{T + 1} \\ a_{T + 1} & ~ N (0, τ^{2}) \\ п (σ^{2}) & α 1 / σ^{2} \\ п (τ) & знак равно \frac{2 я (τ > 0)}{π (1 + τ^{2})} \end{aligned}

$\begin{align} y_t &= x_t + e_t \\ x_{t+1} &= x_t + a_{t+1} \\[10pt] a_{t+1} &\sim ~ N(0, \tau^2) \\ p(\sigma^2) &\propto 1/\sigma^2 \\[3pt] p(\tau) &= \frac{2I(\tau>0)}{\pi(1+\tau^2)} \end{align}$

Изменить: я включил в р ( ). Спасибо за указание на это. $\pi$ $\tau$

— Christoph
источник

Пожалуйста, укажите, какие свойства вас интересуют: в конце концов, их можно описать бесконечно многими.

— whuber

x \geq 0

$x\geq 0$

Полу-Коши - это одна из симметричных половин распределения Коши (если не указано, это правая половина, которая предназначена):

$\frac12$ $\frac{1}{\pi}$ как отмечено в комментариях).

Полу-Коши имеет много свойств; некоторые полезные свойства, которые мы могли бы хотеть в предыдущем.

Распространенным выбором для априорного параметра масштаба является обратная гамма (не в последнюю очередь, потому что она сопряжена для некоторых знакомых случаев). Когда желателен малоинформативный априор, используются очень малые значения параметров.

Полу Коши довольно тяжелый хвост, и в некоторых ситуациях его тоже можно считать довольно слабоинформативным. Гельман (например, [1]) выступает за половину априорных значений (включая половину Коши) по сравнению с обратной гаммой, потому что они лучше работают при малых значениях параметров, но расценивают его как информативную при малом значении при использовании параметра большого масштаба *. Гельман больше внимания уделял полу-Коши в последние годы. В работе Полсона и Скотта [2] приведены дополнительные причины, в частности, для выбора полу-Коши.

* Ваш пост показывает стандартную половину Коши. Гельман, вероятно, не выбрал бы это заранее. Если у вас нет никакого смысла во всей шкале, то это означает, что шкала с большей вероятностью будет выше 1, чем ниже 1 (что может быть тем, что вы хотите), но она не будет соответствовать некоторым вещам, которые спорит Гельман. для.

[1] А. Гельман (2006),
"Априорные распределения для параметров дисперсии в иерархических моделях"
Байесовский анализ , Vol. 1, № 3, с. 515–533
http://www.stat.columbia.edu/~gelman/research/published/taumain.pdf

[2] Н.Г. Полсон, Дж. Скотт (2012),
«О полукоши-приоре для параметра глобального масштаба»
Байесовский анализ , вып. 7, № 4, с. 887-902
https://projecteuclid.org/euclid.ba/1354024466

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

1 / π

$1/\pi$

@Glen_b, какое место в полу-Коши в твоем ответе?

— rnorouzian

@morouzian, какая мера местоположения вас интересует? Рассматриваемая как член семейства шкал местоположений, обсуждаемая стандартная форма имеет местоположение 0 и масштаб 1, но я не уверен, что это то, что вы спрашиваете. (Его медиана равна 1, как предлагается в конце моего ответа, если это поможет.)

— Glen_b -Возвратите Монику