Различные преобразования плотности вероятности из-за якобианского фактора

В книге Бишопа « Распознавание образов и машинное обучение» я прочитал следующее сразу после того, как была представлена ​​плотность вероятности :$p(x\in(a,b))=\int_a^bp(x)\textrm{d}x$

При нелинейном изменении переменной плотность вероятности преобразуется не так, как в простой функции, благодаря фактору Якоби. Например, если мы рассмотрим замену переменных , то функция становится . Теперь рассмотрим плотность вероятности которая соответствует плотности относительно новой переменной , где достаточно обозначить тот факт, что и являются разными плотностями. Наблюдения, попадающие в диапазон , при малых значениях будут преобразованы в диапазон$x = g(y)$$f(x)$$\tilde{f}(y) = f(g(y))$$p_x(x)$$p_y(y)$$y$$p_x(x)$$p_y(y)$$(x, x + \delta x)$$\delta x$$(y, y + \delta y$) where $p_x(x)\delta x \simeq p_y(y)δy$, and hence $p_y(y) = p_x(x) |\frac{dx}{dy}| = p_x(g(y)) | g\prime (y) |$.

What is the Jacobian factor and what exactly does everything mean (maybe qualitatively)? Bishop says, that a consequence of this property is that the concept of the maximum of a probability density is dependent on the choice of variable. What does this mean?

To me this comes all a bit out of the blue (considering it's in the introduction chapter). I'd appreciate some hints, thanks!

I suggest you reading the solution of Question 1.4 which provides a good intuition.

In a nutshell, if you have an arbitrary function $f(x)$ and two variable $x$ and $y$ which are related to each other by the function $x = g(y)$, then you can find the maximum of the function either by directly analyzing $f(x)$: $\hat{x} = argmax_x(f(x))$ or the transformed function $f(g(y))$: $\hat{y} = argmax_y(f(g(y))$. Not surprisingly, $\hat{x}$ and $\hat{y}$ will be related to each as $\hat{x} = g(\hat{y})$ (here I assumed that $\forall{y}: g^\prime(y)\neq0)$.

This is not the case for probability distributions. If you have a probability distribution $p_x(x)$ and two random variables which are related to each other by $x=g(y)$. Then there is no direct relation between $\hat{x} = argmax_x(p_x(x))$ and $\hat{y}=argmax_y(p_y(y))$. This happens because of Jacobian factor, a factor that shows how the volum is relatively changed by a function such as $g(.)$.