Почему

На этой центральной странице AP « Случайные переменные против алгебраических переменных» автор Питер Фланаган-Хайд проводит различие между алгебраическими и случайными переменными.

Частично он говорит

$x + x = 2x$ , но $X + X \neq 2X$

- на самом деле это подзаголовок статьи.

Какова основная разница между алгебраической переменной и случайной переменной?

Итак, давайте сначала рассмотрим этот вопрос: «Какова основная разница между алгебраической переменной и случайной переменной?»

Случайная переменная вовсе не является алгебраической переменной. Формально она определяется как функция от вероятностного пространства Q , в R .$X$$\Omega$$\mathbb R$

Хорошо ... Что на самом деле означает, что вы проводите случайные эксперименты (например, бросаете кости, выбираете случайного человека), и вы делаете измерения в этих экспериментах (например, число на верхней поверхности кости, рост, пол, уровень холестерина в человеке). ). Множество является множеством всех возможных экспериментов. В конкретном эксперименте ω ∈ Ω вы делаете меру X ( ω ) : поэтому формально это функция от Ω до$\Omega$$\omega\in\Omega$$X(\omega)$$\Omega$ .$\mathbb R$

Теперь мы вообще забываем о . Случайные величины определяются в терминах их закона вероятности. В случае справедливой игры в кости, вы просто говорите$\Omega$

• дляk=1,…,6(вероятность того, чтоXравноk,равна 1/6 для$\mathbb P(X = k) = {1\over 6}$$k=1,\dots,6$$X$$k$ от 1 до 6),$k$

вместо того

• (набор бросков кубиков, на котором мера X - верхняя грань - равна$\mathbb P\left( \bigl\{ \omega \in \Omega \ : \ X(\omega) = k\bigr\}\right)$$X$$k$ имеет вероятность 1/6) ...

Это проще Вы можете даже полностью избежать беспокойства студентов .$\Omega$

Я надеюсь, что это проливает какой-то свет.

Теперь этот парень имеет в виду не то, что сумма такой меры с самим собой не в два раза больше этой меры - к сожалению, это то, что он пишет. Он имеет в виду, что сумма двух таких мер, выполненных в разных экспериментах, имеет не один и тот же закон, чем двойная мера. Это можно записать как X 1 ∼ X 2 ⇏ X 1 + X 2 ∼ 2 X 1 (тот факт, что X 1 и X 2 имеют одинаковое распределение, не означает, что X 1$X + X \ne 2X$$X_1 \sim X_2 \not\Rightarrow X_1 + X_2 \sim 2X_1$$X_1$$X_2$$X_1 + X_2$ имеет такое же распределение, как ).$2 X_1$

[В более ранней версии вопроса был задан ответ, который полностью избегал математики; этот ответ был попыткой дать некоторую интуитивную мотивацию на уровне, аналогичном тому, о котором идет речь.]

Связанная страница не права , когда он говорит , что .$X+X\neq 2X$

В примере случайная переменная представляет число, отображаемое на лицевой стороне кристалла - результат эксперимента, подобного «бросить шестигранный кубик один раз и записать число на лицевой стороне кубика».$X$

Итак, вы бросаете кубик и записываете то, что видели. Какое бы число вы ни записали, это ... так что X + $X$$X+X$ представляет результат, добавленный к самому себе. Если вы бросите еще один кубик, то число, которое вы записали раньше, не изменится.

Позже на странице написано:

Однако, когда бросаются два кубика, результаты разные. Вызовите случайную величину, которая представляет результаты процесса с двумя кубиками (для «двух»). Мы могли бы написать T = X + X . Это уравнение отражает тот факт, что T является результатом двух независимых случаев случайной величины $T$$T = X + X$$T$$T$

Самым концом этой цитаты является, по-видимому, типографская ошибка, они означают, что не T там (поскольку, если это был T, они просто сказали, что T был результатом двух его экземпляров). Но с этой заменой это все еще неправильно.$X$$T$$T$$T$

Если у вас есть два независимых примера эксперимента (бросьте кубик, запишите показанное число), вы имеете дело с двумя разными случайными переменными.

Итак, представьте, что у меня есть красный и синий кубики. Тогда я могу сказать: «Пусть результат на красном кристалле будет а результат на синем кристалле будет X 2 ». Затем мы можем последовать примеру на этой связанной странице, определив T как сумму чисел, показанных на этих двух кубиках, поэтому T = X 1 + X 2 . Если игральные кости и процесс броска матрицы справедливы, то распределение X 1 и X 2 одинаково, но X 1 и X 2 - случайные величины - различны.$X_1$$X_2$$T$$T=X_1+X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$

[Там отличная дискуссия whuber случайных величин (и сумм их) здесь , и концепция случайных величин рассматривается в несколько более подробно (если в местах более технический) здесь . Я рекомендую вам хотя бы прочитать ответ по первой ссылке.]

Эта проблема возникла потому, что автор перепутал случайную переменную с ее распределением. Вы можете увидеть это здесь:

В этом случае учащиеся думают, что случайная переменная X представляет одно неизвестное значение так же, как они думают об алгебраических переменных. Но X действительно относится к распределению возможных значений и связанных вероятностей.

Он явно связывает случайную величину с ее распределением.

$X+X$$2X$

$T = X + X$$T = X + Y$$X$$Y$

$X$$X$$one$

$X+X=2X$