Случайные величины, для которых неравенства Маркова, Чебышева жесткие

Я заинтересован в построении случайных величин, для которых неравенства Маркова или Чебышева являются жесткими.

Тривиальным примером является следующая случайная величина.

$P(X=1)=P(X=-1) = 0.5$ . Его среднее значение равно нулю, дисперсия равна 1 и . Для этой случайной величины Чебышев является тесным (имеет место равенство).$P(|X| \ge 1) = 1$

$$P(|X|\ge 1) \le \frac{\text{Var}(X)}{1^2} = 1$$

Существуют ли более интересные (неоднородные) случайные величины, для которых Марков и Чебышев тесно связаны? Некоторые примеры были бы великолепны.

Класс распределений, для которого имеет место предельный случай чебышевской оценки, хорошо известен (и его нетрудно догадаться). Нормализовано для местоположения и масштаба это

$$Z=\begin{cases}-k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\\\:0,&{\text{with probability }}1-\frac {1}{k^2}\\\:k,&{\text{with probability }}{\:\frac {1}{2k^2}}\end{cases}$$

Это (в масштабе) решение, данное на странице Википедии для неравенства Чебышева .

[Вы можете написать последовательность распределений (поместив больше вероятности в центр с одинаковым удалением равномерно из конечных точек), которые строго удовлетворяют неравенству и приближаются к этому ограничивающему случаю настолько близко, насколько это необходимо.]$\epsilon>0$

Любое другое решение может быть получено путем определения местоположения и масштаба сдвигами этого: Пусть .$X=\mu+\sigma Z$

Для неравенства Маркова пустьтаким образом, у вас есть вероятность в 0 и в . (Здесь можно ввести параметр масштаба, но не параметр местоположения)1 - 1 / k 2 1 / k 2$Y=|Z|$$1-1/k^2$$1/k^2$$k$

Моментные неравенства - и многие другие подобные неравенства - имеют тенденцию иметь дискретные распределения в качестве предельных случаев.

Я считаю, что получить непрерывное распределение по всей вещественной оси, которая точно следует чебышевской границе, может быть невозможно.

Предположим, что среднее непрерывного распределения и стандартное отклонение равны 0 и 1, или сделайте это с помощью масштабирования. Тогда требуется . Для простоты рассмотрим ; отрицательные значения будут определены симметрично. Тогда CDF распределения будет . И поэтому pdf, производная от cdf, равна . Очевидно, что это должно быть определено только для из-за разрыва. На самом деле, это даже не может быть правдой везде, или интеграл от pdf не является конечным. Вместо этого, если следует избегать разрывов (например, pdf cat должен быть 0 для ), pdf должен быть кусочным, равным для$P(\mid X\mid >x)=1/x^2$$x>0$$1-1/x^2$$2/x^3$$x>0$$\mid x \mid <\alpha$$\mid x \mid^3$$\mid x\mid \geq \alpha$ .

Однако это распределение не соответствует гипотезе - оно не имеет конечной дисперсии. Чтобы получить непрерывное распределение по вещественной оси с конечной дисперсией, ожидаемые значения и должны быть конечными. Изучая обратные полиномы, хвосты, которые идут как приводят к конечной , но неопределенному потому что это включает в себя интеграл с асимптотически логарифмическим поведением.$x$$x^2$$x^{-3}$$E[x]$$E[x^2]$

Таким образом, граница Чебычева не может быть полностью удовлетворена. Однако вы можете потребовать для сколь угодно малого . Хвост pdf имеет вид и имеет определенную дисперсию порядка .$P(\mid X \mid > x ) = x^{-(2+\epsilon)}$$\epsilon$$x^{-(3+\epsilon)}$$1/\epsilon$

Если вы хотите позволить распространению жить только на части реальной линии, но все еще быть непрерывным, тогда определите для работает для и или любое линейное масштабирование - но в основном это , что не очень много. И сомнительно, соответствует ли это ограничение первоначальной мотивации.$pdf(x) = 2/\mid x \mid^3$$\epsilon < \mid x \mid < \Lambda$

$$\epsilon = \sqrt{2 \left( 1 - \frac{1}{\sqrt{e}} \right) }$$ 0,887 $$\Lambda = \epsilon = \sqrt{2 \left( \sqrt{e} - 1 \right) }$$ $0.887 < |x| < 1.39$