Среднее обратного экспоненциального распределения

Учитывая случайную величину , что означает среднее значение и дисперсию G = $Y = Exp(\lambda)$ ?$G=\dfrac{1}{Y}$

Я смотрю на обратное гамма-распределение, но среднее значение и дисперсия определены только для и α > 2 соответственно ...$\alpha>1$$\alpha>2$

Учитывая, что обратное экспоненциальное распределение имеет , вы наткнулись на тот факт, что среднее значение обратной экспоненты равно ∞ . И, следовательно, дисперсия обратной экспоненты не определена.$\alpha = 1$$\infty$

Если экспоненциально распределено обратно, E ( G r ) существует и конечно для r < 1 , и = ∞ для r = 1 .$G$$E(G^r)$$r < 1$$= \infty$$r = 1$

Я покажу расчет среднего экспоненциального распределения, чтобы он напомнил вам подход. Затем я пойду на обратную экспоненту с тем же подходом.

Дано $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda y}$

$E[Y] = \int_0^\infty{yf_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{y \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{y e^{-\lambda y} dy}$

Интегрирование по частям ( на данный момент игнорируем перед интегралом),$\lambda$

$u = y, dv=e^{-\lambda y} dy$

$du = dy, v = \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \int_0^\infty{ \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} + \frac{1}{\lambda} \int_0^\infty{ e^{-\lambda y} dy}$

$= y \frac{-1}{\lambda}e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda^2} e^{-\lambda y}$

$\lambda$

$= - y e^{-\lambda y} - \frac{1}{\lambda} e^{-\lambda y}$

$0$$\infty$

$= (0 - 0) - \frac{1}{\lambda} (0 - 1)$

$= \lambda^{-1}$

Что является известным результатом.

$G = \frac{1}{Y}$

$E[G] = E[\frac{1}{Y}]= \int_0^\infty{\frac{1}{y} f_Y(y) dy}$

$= \int_0^\infty{\frac{1}{y} \lambda e^{-\lambda y} dy}$

$= \lambda \int_0^\infty{\frac{1}{y} e^{-\lambda y} dy}$

Основное отличие состоит в том, что для интеграции по частям,

$u = y^{-1}$

а также

$du = -1y^{-2}$

$G = \frac{1}{y}$

http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+from+0+to+infinity+(1%2Fx)+exp(-x)+dx

$\alpha=1$$\alpha \gt 2$

После быстрого моделирования (в R), кажется, что среднее не существует:

n<-1000
rates <- c(1,0.5,2,10)

par(mfrow = c(2,2))
for(rate in rates)
{
  plot(cumsum(1/rexp(n, rate))/seq(1,n),type='l',main = paste0("Rate = ",rate),
       xlab = "Sample size", ylab = "Empirical Mean")
}

Для сравнения, вот что происходит с подлинной экспоненциальной случайной величиной.