Распределение квадратичной формы нормалей

Я пытаюсь выяснить распределение где , если я знаю, что, взяв каждое из членов в отдельности, и

(n - 1) \sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} - {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} (*)

$(n-1) \sum_{i=1}^n Z_i^2 - \left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \qquad (*)$

Z_{i} \sim N (0, 1)

$Z_i \sim \mathcal{N}(0,1)$

\sum_{i = 1}^{n} Z_{i}^{2} \sim χ^{2} (n)

$\sum_{i=1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)$

Но я не уверен насчет распределения (*)

\frac{1}{n} {(\sum_{i = 1}^{n} Z_{i})}^{2} \sim χ^{2} (1) .

$\frac{1}{n}\left( \sum_{i=1}^n Z_i \right)^2 \sim \chi^2(1).$

probability distributions normal-distribution

— Зайлей Чен
источник

Добро пожаловать на наш сайт! Это вопрос из курса или учебника? Если это так, пожалуйста, добавьте [self-study]тег и прочитайте его вики . В противном случае было бы интересно узнать, в каком контексте возникла эта проблема. Спасибо за то, что показали нам, что вы сделали и где застряли

— Silverfish

@ Silverfish Нет, это просто то, что я пытаюсь выяснить. Я разобрал проблему до этого простого вопроса; Боюсь, моя оригинальная проблема немного сложнее! Итак, я попытался спросить только ту часть, в которой мне действительно нужна помощь. Но, если это выглядит как проблема из учебника, мне было бы очень интересно узнать, из какого текста, в надежде, что он предоставляет соответствующую информацию :)

— Zailei Chen

Это кажется разумным! Кроме того, спасибо за использование набора текста Latex, мы всегда ценим усилия

— Silverfish

Вот попытка :

$Z=X-Y$ $X \sim \chi^2(\alpha)$ $Y \sim \chi^2(\beta)$ $\alpha \geq \beta$

M_{X} (t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2}

$\mathcal{M}_X(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}$

M_{Y} (t) = {(1 - 2 t)}^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Y(t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\beta/2}$

M_{Z} (t) = M_{X} (t) M_{Y} (- t) = {(1 - 2 t)}^{- α / 2} {(1 + 2 t)}^{- β / 2} = (1 - 4 t^{2})^{- β / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = M_X(t)M_Y(-t) = \left(1-2 \, t\right)^{-\alpha/2}\left(1+2 \, t\right)^{-\beta/2} = (1-4t^2)^{-\beta/2}$

M_{Z} (T) знак равно (1 - 2 T)^{- N / 2} (1 + 2 T)^{- 1 / 2} знак равно (1 - 4 T^{2})^{- 1 / 2} (1 - 2 T)^{- (N - 1) / 2}

$\mathcal{M}_Z(t) = (1-2t)^{-n/2}(1+2t)^{-1/2} = (1-4t^2)^{-1/2} (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Я не уверен, может ли это быть уменьшено до непостижимого MGF.

— rightskewed
источник

Некоторое обсуждение немного более общей ситуации появляется по адресу stats.stackexchange.com/questions/72479 со ссылкой на статью, в которой предлагается приблизительное значение.

— whuber