Откуда мы знаем, что вероятность прокатки 1 и 2 равна 1/18?

Начиная с моего первого класса вероятности я задавался вопросом о следующем.

Вычисление вероятностей обычно вводится через отношение «предпочтительных событий» к общему числу возможных событий. В случае броска двух шестигранных кубиков количество возможных событий составляет , как показано в таблице ниже.$36$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & (2,1) & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

Поэтому, если бы мы были заинтересованы в вычислении вероятности события «« бросая и »», мы бы увидели, что есть два «предпочтительных события», и вычислили бы вероятность события как .2 $1$$2$$\frac{2}{36}=\frac{1}{18}$

Теперь, что всегда вызывало у меня удивление: скажем, было бы невозможно провести различие между двумя кубиками, и мы будем наблюдать их только после того, как они будут брошены, поэтому, например, мы будем наблюдать: «Кто-то дает мне коробку. Я открываю коробку. Есть и ". В этом гипотетическом сценарии мы не смогли бы различить две кости, поэтому мы не знали бы, что есть два возможных события, ведущих к этому наблюдению. Тогда наши возможные события будут такими:$1$$2$

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline (1,1) & (1,2) & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline & & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline & & & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline & & & & (5,5) & (5,6) \\ \hline & & & & & (6,6) \\ \hline \end{array}$$

и мы вычислим вероятность события A как $\frac{1}{21}$ .

Опять же, я полностью осознаю тот факт, что первый подход приведет нас к правильному ответу. Вопрос, который я задаю себе:

Откуда мы знаем, что $\frac{1}{18}$ является правильным?

Два ответа, которые я придумал:

• Мы можем проверить эмпирически. Как бы я ни интересовался этим, я должен признать, что сам этого не делал. Но я верю, что так оно и будет.
• В действительности мы можем различать кости, как одна черная, а другая синяя, или бросать одну перед другой, или просто знать о возможных событиях, и тогда все стандартные теории работают.$36$

Мои вопросы к вам:

• Какие еще причины для нас знать, что является правильным? (Я уверен, что должно быть несколько (по крайней мере технических) причин, и именно поэтому я разместил этот вопрос)$\frac{1}{18}$
• Есть ли какой-то основной аргумент против предположения, что мы вообще не можем различить кости?
• Если предположить, что мы не можем отличить кубики и не можем проверить эмпирически, возможно ли, что даже правильное или я что-то упустил?$P(A) = \frac{1}{21}$

Спасибо, что нашли время, чтобы прочитать мой вопрос, и я надеюсь, что он достаточно конкретен.

Представь, что ты бросил свой честный шестигранный кубик, и у тебя есть ⚀. Результат был настолько увлекательным, что вы позвонили своему другу Дэйву и рассказали ему об этом. Так как ему было любопытно, что он получит, бросив свой честный шестигранный кубик, он бросил его и получил ⚁.

Стандартный кубик имеет шесть граней. Если вы не обманываете, то он приземляется с каждой стороны с равной вероятностью, то есть в раз. Вероятность того, что вы бросите ⚀, так же, как и с другими сторонами, равна . Вероятность того, что вы бросите ⚀, а ваш друг - ⚁, равна поскольку два события независимы, и мы умножаем независимые вероятности. Иными словами, существует таких пар, которые можно легко перечислить (как вы уже сделали). Вероятность противоположного события (вы бросаете ⚁, а ваш друг бросает ⚀) также равна6 $1$$6$$\tfrac{1}{6}$$\tfrac{1}{6} \times \tfrac{1}{6} = \tfrac{1}{36}$$36$$\tfrac{1}{36}$, Вероятности, которые вы бросаете ⚀, и ваш друг бросает throw, или что вы бросаете throw, и ваш друг бросает ⚀, являются исключительными , поэтому мы добавляем их . Среди всех возможных договоренностей есть два, отвечающие этому условию.$\tfrac{1}{36} + \tfrac{1}{36} = \tfrac{2}{36}$

Откуда мы все это знаем? Ну, на основании вероятности , комбинаторики и логики, но эти три нуждаются в определенных фактических знаниях, на которые можно положиться. На основании опыта тысяч игроков и некоторых физиков мы знаем , что нет никаких оснований полагать, что честный шестигранный кубик имеет иной шанс, чем равновероятный шанс приземлиться с каждой стороны. Точно так же у нас нет оснований подозревать, что два независимых броска так или иначе связаны и влияют друг на друга.

Вы можете представить коробку с билетами, помеченными всеми комбинациями (с повторениями) чисел от до . Это ограничит число возможных результатов до и изменит вероятности. Однако, если вы подумаете о таком определении термина «игральные кости», вам придется представить себе две кости, которые каким-то образом склеены. Это нечто очень отличающееся от двух игральных костей, которые могут функционировать независимо и могут быть брошены в одиночку на каждой стороне с равной вероятностью, не влияя друг на друга.$2$$1$$6$$21$

Все , что сказал, нужно комментировать , что такие модели являются возможно, но не для таких вещей , как кости. Например, в физике элементарных частиц, основанной на эмпирических наблюдениях, оказалось, что бозе-эйнштейновская статистика неразличимых частиц (см. Также проблему звезд и столбцов ) является более подходящей, чем модель различимых частиц. Некоторые замечания об этих моделях можно найти в книге « Вероятность или вероятность через ожидание » Питера Уиттла или в томе « Введение в теорию вероятностей и ее приложения » Уильяма Феллера.

Я думаю, что вы упускаете из виду тот факт, что не имеет значения, можем ли «мы» различать кости или нет, а скорее важно, чтобы кости были уникальными и отличались друг от друга и действовали сами по себе.

Так что, если в сценарии с закрытым боксом вы открываете блок и видите 1 и 2, вы не знаете, является ли это или , потому что вы не можете различить кости. Тем не менее, оба и приведут к одному и тому же визуалу, то есть 1 и 2. Таким образом, есть два результата в пользу этого визуала. Точно так же для каждой не одной и той же пары есть два результата, благоприятствующих каждому визуалу, и, таким образом, существует 36 возможных результатов.( 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) ( 2 , 1 $(1,2)$$(2,1)$$(1,2)$$(2,1)$

Математически формула для вероятности события:

$$\dfrac{\text{Number of outcomes for the event}}{\text{Number of total possible outcomes}}.$$

Однако эта формула справедлива только для случаев, когда каждый результат одинаково вероятен . В первой таблице каждая из этих пар одинаково вероятна, поэтому формула верна. Во второй таблице каждый результат не одинаково вероятен, поэтому формула не работает. То, как вы найдете ответ, используя вашу таблицу

Вероятность 1 и 2 = Вероятность + Вероятность = .( 2 , 1 ) $(1,2)$$(2,1)$$\dfrac{1}{36} + \dfrac{1}{36} = \dfrac{1}{18}$

Еще один способ думать об этом состоит в том, что этот эксперимент точно такой же, как и бросать каждый кубик отдельно, где вы можете найти кубик 1 и кубик 2. Таким образом, результаты и их вероятности будут совпадать с экспериментом с закрытыми ячейками.

Давайте представим, что первый сценарий включает бросание одного красного кубика и одного синего кубика, а второй - бросание пары белых кубиков.

$$\begin{array} {|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \frac{\textrm{Blue}}{\textrm{Red}}&1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 1 & (1,1) & \mathbf{(1,2)} & (1,3) & (1,4) & (1,5) & (1,6) \\ \hline 2 & \mathbf{(2,1)} & (2,2) & (2,3) & (2,4) & (2,5) & (2,6) \\ \hline 3 & (3,1) & (3,2) & (3,3) & (3,4) & (3,5) & (3,6) \\ \hline 4 & (4,1) & (4,2) & (4,3) & (4,4) & (4,5) & (4,6) \\ \hline 5 & (5,1) & (5,2) & (5,3) & (5,4) & (5,5) & (5,6) \\ \hline 6 & (6,1) & (6,2) & (6,3) & (6,4) & (6,5) & (6,6) \\ \hline \end{array}$$ $\frac{2}{36}$$\frac{1}{18}.$

$(n,n)$

Следующий вопрос: «Как я мог знать, что события не одинаково вероятны?» Один из способов думать об этом, чтобы представить себе , что бы произошло , если бы вы могли различить два кубика. Возможно, вы ставите крошечную отметку на каждом кубике. Это не может изменить результат, но это уменьшает проблему предыдущего. В качестве альтернативы, предположим, что вы записываете диаграмму так, чтобы вместо синего / красного она читалась как левый / правый.

В качестве дальнейшего упражнения подумайте о разнице между просмотром упорядоченного результата (красный = 1, синий = 2) и неупорядоченным (один кубик показывает 1, один кубик показывает 2).

Основная идея заключается в том, что если вы перечислите 36 возможных результатов двух различимых костей, вы перечислите одинаково вероятные результаты. Это не очевидно или аксиоматично; это правда, только если ваши кости честны и не связаны между собой. Если вы перечислите результаты неразличимых кубиков, они не одинаково вероятны, потому что почему они должны быть, равно как и результаты «выиграть в лотерею» и «не выиграть в лотерею» одинаково вероятны.

Чтобы прийти к выводу, вам необходимо:

• Мы работаем со справедливыми кубиками, для которых одинаково вероятны все шесть чисел.
• Два кубика независимы, так что вероятность того, что кубик номер два получит конкретное число, всегда не зависит от того, какое число кубик дал номер один. (Представьте, что вместо этого выкатываете один и тот же кубик дважды на липкую поверхность, которая делала второй бросок другим.)

$(a,b)$$a$$b$$(a,b)$$(b,a)$$a \neq b$$(a,b)$$(b,a)$

Идея, что вы можете получить вероятности, просто посчитав возможности, основана на предположениях о равной вероятности и независимости. Эти предположения редко подтверждаются в реальности, но почти всегда в задачах в классе.

Если вы переведете это в терминах монет - скажем, перевернув две неразличимые копейки - это станет вопросом только трех результатов: 2 голов, 2 хвостов, 1 каждого, и проблему легче обнаружить. Та же самая логика применима, и мы видим, что более вероятно получить 1 из каждого, чем получить 2 головы или 2 хвоста.

Это скользкость вашей второй таблицы - она ​​представляет все возможные результаты, даже если они не являются одинаково взвешенными вероятностями , как в первой таблице. Было бы неправильно определять, что означают каждая строка и столбец во второй таблице - они имеют смысл только в объединенной таблице, где каждый результат имеет 1 блок, независимо от вероятности, тогда как в первой таблице отображаются «все одинаково вероятные результаты умирают 1, каждый из которых имеет свой собственный ряд ", и аналогично для столбцов и умирают 2.

Давайте начнем с предположения: неотличимая игра в кости бросает только 21 возможный результат, в то время как различимая игра в кости бросает 36 возможных результатов.

Чтобы проверить разницу, возьмите пару одинаковых белых кубиков. Нанесите один на материал, поглощающий ультрафиолетовое излучение, например солнцезащитный крем, который невидим невооруженным глазом. Кости все еще кажутся неразличимыми, пока вы не посмотрите на них под черным светом, когда покрытый кристалл кажется черным, в то время как чистый кристалл светится.

Спрячьте пару кубиков в коробку и встряхните. Каковы шансы, что вы получите 2 и 1, когда откроете коробку? Интуитивно вы можете подумать, что «бросить 1 и 2» - это только 1 из 21 возможных результатов, потому что вы не можете отличить кости друг от друга. Но если вы откроете коробку под черным светом, вы сможете различить их. Когда вы можете отличить кости друг от друга, «бросить 1 и 2» - это 2 из 36 возможных комбинаций.

Означает ли это, что черный свет способен изменить вероятность получения определенного результата, даже если игральные кости подвергаются воздействию света и наблюдаются после того, как они были брошены? Конечно, нет. Ничто не меняет кости после того, как вы перестанете трясти коробку. Вероятность данного исхода не может измениться.

Поскольку исходное предположение зависит от несуществующего изменения, разумно сделать вывод, что исходное предположение было неверным. Но как насчет первоначального предположения, которое неверно - что неразличимая игра в кости бросает только 21 возможный результат, или что различимая игра в кости бросает 36 возможных результатов?

Ясно, что эксперимент с черным светом продемонстрировал, что наблюдение не влияет на вероятность (по крайней мере, в этом масштабе - квантовая вероятность - это другое дело) или на различимость объектов. Термин «неразличимый» просто описывает то, что наблюдение не может отличить от чего-то другого. Другими словами, тот факт, что кости выглядят одинаково при одних обстоятельствах (то есть, что они не находятся под черным светом), а не у других, не имеет никакого отношения к тому факту, что они действительно являются двумя разными объектами. Это было бы верно, даже если обстоятельства, при которых вы можете различить их, никогда не обнаруживаются.

Вкратце: ваша способность различать бросаемые кости не имеет значения при анализе вероятности конкретного исхода. Каждый кубик по своей сути отличается. Все результаты основаны на этом факте, а не на точке зрения наблюдателя.

Мы можем сделать вывод, что ваша вторая таблица не представляет сценарий точно.

Вы удалили все ячейки ниже и слева от диагонали, исходя из предположения, что (1, 2) и (2, 1) являются конгруэнтными и, следовательно, избыточными результатами.

Вместо этого предположим, что вы бросаете один кубик дважды подряд. Допустимо ли считать 1-затем-2 идентичным исходу как 2-то-1? Очевидно, нет. Хотя результат второго броска не зависит от первого, они все же являются отличными результатами. Вы не можете устранить перестановки как дубликаты. Теперь бросать два кубика одновременно - это то же самое, что бросать один кубик дважды подряд. Поэтому вы не можете устранить перестановки.

(Все еще не убежден? Вот своего рода аналогия. Вы идете из своего дома на вершину горы. Завтра вы идете назад. Был ли какой-то момент времени в оба дня, когда вы были в одном месте? Может быть? Теперь представьте себе Вы идете из своего дома на вершину горы, и в тот же день другой человек идет с вершины горы к вашему дому. Есть ли время в этот день, когда вы встречаетесь? Очевидно, да. Это один и тот же вопрос. во время распутывания событий не изменяются выводы, которые можно сделать из этих событий.)

$1$$2$

Если мы знаем, что два кубика являются справедливыми и что они были брошены, то вероятность равна 1/18, как объяснили все остальные ответы. Тот факт, что мы не знаем, был ли бросок кубика с 1 или кубиком с 2 первым, не имеет значения, потому что мы должны учитывать оба пути - и, следовательно, вероятность составляет 1/18 вместо 1/36.

Но если мы не знаем, какой процесс привел к комбинации 1-2, мы ничего не можем знать о вероятности. Может быть, человек, который вручил нам коробку, просто нарочно выбрал эту комбинацию и сунул кости в коробку (вероятность = 1), или, может быть, он швырнул коробку, бросая кости (вероятность = 1/18), или он мог выбрать случайно комбинация из 21 комбинации в таблице, которую вы дали нам в вопросе, и, следовательно, вероятность = 1/21.

Таким образом, мы знаем вероятность, потому что мы знаем, какой процесс приведет к финальной ситуации, и мы можем вычислить вероятность для каждой стадии (вероятность для каждой кости). Процесс имеет значение, даже если мы не видели, чтобы он происходил.

Чтобы закончить ответ, я приведу несколько примеров, где процесс имеет большое значение:

• Мы подбрасываем десять монет. Какова вероятность получить головы все десять раз? Вы можете видеть, что вероятность (1/1024) намного меньше, чем вероятность получить 10, если мы просто выберем случайное число от 0 до 10 (1/11).
• Если вам понравилась эта проблема, вы можете попробовать проблему Монти Холла . Это похожая проблема, когда процесс имеет гораздо большее значение, чем ожидала наша интуиция.

Вероятность событий A и B рассчитывается путем умножения обеих вероятностей.

Вероятность броска 1, когда есть шесть возможных вариантов, равна 1/6. Вероятность броска 2, когда есть шесть возможных вариантов, равна 1/6.

1/6 * 1/6 = 1/36.

Тем не менее, событие не зависит от времени (другими словами, не обязательно, чтобы мы бросали 1 перед 2; только чтобы мы бросали и 1, и 2 в два броска).

Таким образом, я мог бы бросить 1 и затем 2 и удовлетворить условию прокатки 1 и 2, или я мог бросить 2 и затем 1 и удовлетворить условию прокатки 1 и 2.

Вероятность броска 2 и затем 1 имеет такой же расчет:

1/6 * 1/6 = 1/36.

Вероятность либо A, либо B является суммой вероятностей. Допустим, событие A катится 1, затем 2, а событие B - 2, затем 1.

Вероятность события A: 1/36 Вероятность события B: 1/36

1/36 + 1/36 = 2/36, который уменьшается до 1/18.