Ожидание

10

Пусть , , , и независимы. Чего ожидать от ? $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_d \sim \mathcal{N}(0, 1)$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Легко найти по симметрии. Но я не знаю, как найти ожидание . Не могли бы вы дать несколько советов? $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right) = \frac{1}{d}$ $\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}$

Что я получил до сих пор

Я хотел найти по симметрии. Но этот случай отличается от случая для потому что может быть не равно . Поэтому мне нужны другие идеи, чтобы найти ожидание. $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$

Откуда этот вопрос

Вопрос в математике Стек обмена запрашивает дисперсию для единичных однородного случайного вектора на . Мой вывод показывает, что ответ очень сильно зависит от значений и для . Так как и по симметрии нам нужно знать только значение $\|Ax\|_2^2$ $x$ $S^{d-1}$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $\mathbb{E}\left(\frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ $i \neq j$

\sum_{i \neq j} E (\frac{X_{i}^{2} X_{j}^{2}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) + \sum_{i} E (\frac{X_{i}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}}) = 1

$\sum_{i \neq j}\mathbb{E} \left( \frac{X_i^2X_j^2}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) + \sum_i \mathbb{E}\left(\frac{X_i^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right) = 1$

E (\frac{X_{1}^{4}}{(X_{1}^{2} + \dots + X_{d}^{2})^{2}})

$\mathbb{E}\left(\frac{X_1^4}{(X_1^2 + \cdots + X_d^2)^2}\right)$ чтобы получить другие ожидания.

— Майкл Харди
источник

7

Распределение $X_i^2$ является хи-квадрат (а также частным случаем гаммы).

Таким образом, распределение является бета-версией. $\frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2}$

Ожидание квадрата бета не сложно.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

5

Этот ответ расширяет ответ @ Glen_b.

Факт 1: Если , , , являются независимыми стандартными случайными величинами стандартного нормального распределения, то сумма их квадратов имеет распределение хи-квадрат с степенями свободы. Другими словами, $X_1$ $X_2$ $\cdots$ $X_n$ $n$
$X_{1}^{2} + \dots + X_{n}^{2} \sim χ^{2} (n)$ $X_1^2 + \cdots + X_n^2 \sim \chi^2(n)$

Следовательно, и . $X_1^2 \sim \chi^2(1)$ $X_2^2 + \cdots + X_d^2 \sim \chi^2(d-1)$

Факт 2: Если и , то $X \sim \chi^2(\lambda_1)$ $Y \sim \chi^2(\lambda_2)$
$\frac{X}{X + Y} \sim beta (\frac{λ_{1}}{2}, \frac{λ_{2}}{2})$ $\frac{X}{X + Y} \sim \texttt{beta}(\frac{\lambda_1}{2}, \frac{\lambda_2}{2})$

Поэтому . $Y = \frac{X_1^2}{X_1^2 + \cdots + X_d^2} \sim \texttt{beta}(\frac{1}{2}, \frac{d-1}{2})$

Факт 3: Если , то и $X \sim \texttt{beta}(\alpha, \beta)$
$E (X) = \frac{α}{α + β}$ $\mathbb{E}(X) = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$ $V a r (X) = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)}$ $\mathbb{Var}(X) = \frac{\alpha\beta}{(\alpha + \beta)^2(\alpha + \beta + 1)}$

Следовательно, и

E (Y) = \frac{1}{d}

$\mathbb{E}(Y) = \frac{1}{d}$

V a r (Y) = \frac{2 (d - 1)}{d^{2} (d + 2)}

$\mathbb{Var}(Y) = \frac{2(d-1)}{d^2(d+2)}$

Наконец,

E (Y^{2}) = V a r (Y) + E (Y)^{2} = \frac{3 d}{d^{2} (d + 2)} .

$\mathbb{E}(Y^2) = \mathbb{Var}(Y) + \mathbb{E}(Y)^2 = \frac{3d}{d^2(d+2)}.$

— user603
источник

1

@ NP-Hard: Кажется, что вы на самом деле задали этот вопрос, чтобы иметь возможность ответить на этот вопрос ? Почему бы просто не упомянуть об этом?

— Йорики

@joriki Спасибо. Я добавлю ссылку на вопрос.