Как распределяется минимум набора случайных величин?


56

Если являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами, что можно сказать о распределении в целом?X1,...,Xnmin(X1,...,Xn)

Ответы:


38

Если cdf Xi обозначается через F(x) , то cdf минимума определяется как 1[1F(x)]n .


62

Если CDF Xi обозначается через F(x) , то CDF минимума определяется как 1[1F(x)]n .

Обоснование: учитывая n случайных величин, вероятность P(Yy)=P(min(X1Xn)y) подразумевает, что по крайней мере один Xi меньше, чем y .

Вероятность того, что хотя бы один Xi меньше y , эквивалентна единице, минус вероятность того, что все Xi больше y , т.е. P(Yy)=1P(X1>y,,Xn>y) .

Если Xi независимы одинаково распределенными, то вероятность того, что все Xi больше y равна [1F(y)]n . Следовательно, исходная вероятность P(Yy)=1[1F(y)]n .

Пример : скажем, , тогда интуитивно вероятность должна быть равна 1 (так как минимальное значение всегда будет меньше 1, так как для всех ). В этом случае поэтому вероятность всегда равна 1.XiUniform(0,1)min(X1Xn)10Xi1iF(1)=1


1
Этот сайт поддерживает синтаксис Markdown для редактирования, а также LATEX для математических выражений. Дополнительную информацию можно найти здесь: stats.stackexchange.com/editing-help .
хл

Спасибо за предоставление аргументации. У меня была проблема с неравномерно распределенными переменными, но минимальная логика все еще применялась хорошо :)
Matchu

14

Роб Хиндман дал простой точный ответ для фиксированного n. Если вас интересует асимптотическое поведение при больших n, это делается в области теории экстремальных значений . Существует небольшое семейство возможных предельных распределений; см., например, первые главы этой книги .


2
Мое мнение таково, что эта книга - книга о теории экстремальных значений
Робин Джирард,

0

Я думаю, что ответ 1- (1-F (x)) ^ n является правильным в особых случаях. Особые случаи - это условие, что pmf of rv основан на формуле для области rv. Если она будет отличаться в разных частях области, то вышеупомянутая формула немного отклоняется от фактических результатов моделирования.


@ gung Я понимаю, почему вы пришли к такому выводу, но этот ответ не относится к настройке IID вопроса: поэтому он представляется (правильным и потенциально интересным) комментарием к самому вопросу.
whuber

Вам решать, @whuber, если вы хотите преобразовать это в комментарий, это ваш звонок.
gung - Восстановить Монику
Используя наш сайт, вы подтверждаете, что прочитали и поняли нашу Политику в отношении файлов cookie и Политику конфиденциальности.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.