Интуиция за уровнем опасности

Меня смущает уравнение, которое служит определением степени опасности. Я понимаю, что такое уровень опасности, но я просто не понимаю, как уравнение выражает эту интуицию.

Если $x$ - случайная величина, которая представляет момент времени смерти кого-либо на интервале времени $[0,T]$ . Тогда уровень опасности:

$$h(x)=\frac{f(x)}{1-F(x)}$$

Там , где $F(x)$ не представляет собой вероятность смерти до момента времени $x\in[0,T]$ ,
$1-F(x)$ представляет собой вероятность не пережив вплоть до временной точки $x\in[0,T]$ ,
и $f(x)$ вероятность смерти в точке $x$ .

Как деление на выживаемость объясняет интуицию вероятности мгновенной смерти в следующем Δ $f(x)$$\Delta t$ ? Разве это не должно быть просто , что делает расчет степени опасности тривиальным?$f(x)$

Пусть обозначает время смерти (или время неудачи, если вы предпочитаете менее болезненное описание). Предположим, что X - непрерывная случайная величина, функция плотности которой f ( t ) отлична от нуля только на ( 0 , ∞ ) . Теперь обратите внимание, что это должен быть случай, когда f ( t ) затухает до 0 при t → ∞, потому что если f ( t ) не затухает, как указано, то ∫ ∞ - ∞$X$$X$$f(t)$$(0,\infty)$$f(t)$$0$$t \to \infty$$f(t)$ не может удерживаться. Таким образом, ваше мнениечтоф(Т)есть вероятность смерти в момент времениT (самом деле, этое(Т)Δтчто составляет (приблизительно) вероятность смерти вкороткоминтервале(T,T+Δт] из длинаΔт) приводит к неправдоподобным и невероятным выводамтаким как$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(t)\,\mathrm dt = 1$$f(T)$$T$$f(T)\Delta t$$(T, T+\Delta t]$$\Delta t$

У вас больше шансов умереть в следующем месяце, когда вам тридцать лет, чем когда вам девяносто восемь лет.

всякий раз, когда таково, что f ( 30 ) > f ( 98 $f(t)$$f(30) > f(98)$ .

Причина , (или F ( T ) Δ т ) является «неправильным» вероятность взглянуть на то , что значение ф ( Т ) представляет интерес только для тех , кто жив в возрасте Т (и до сих пор мысленно достаточно настороже, чтобы регулярно читать stats.SE!) На что следует обратить внимание, так это на вероятность смерти Т- летнего ребенка в течение следующего месяца, то есть$f(T)$$f(T)\Delta t$$f(T)$$T$$T$

$$\begin{align}P\{(X \in (T, T+\Delta t] \mid X \geq T\} &= \frac{P\{\left(X \in (T, T+\Delta t]\right) \cap \left(X\geq T\right)\}}{P\{X\geq T\}} & \\ \scriptstyle{ \text{ definition of conditional probability}}\\ &= \frac{P\{X \in (T, T+\Delta t]\}}{P\{X\geq T\}}\\ &= \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)} & \\ \scriptstyle{ \text{because }X\text{ is a continuous rv}} \end{align}$$

Выбор быть две недели, неделю, день, час, минута, и т.д. , мы приходим к выводу , что (мгновенная) Степень риска для А Т -YEAR старое$\Delta t$$T$

$$h(T) = \frac{f(T)}{1-F(T)}$$

в том смысле , что приблизительная вероятность смерти в следующем фемтосекундного из Т -летний старого е ( Т ) Δ $(\Delta t)$$T$$\displaystyle \frac{f(T)\Delta t}{1-F(T)}.$

$f(t)$$1$$\displaystyle \int_0^\infty h(t)\, \mathrm dt$ $F(t)$

$$F(t) = 1 - \exp\left(-\int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau\right)$$ and since $\lim_{t\to \infty}F(t) = 1$, it must be that $$\lim_{t\to \infty} \int_0^t h(\tau)\, \mathrm d\tau = \infty,$$ or stated more formally, the integral of the hazard rate must diverge: there is no potential divergence as a previous edit claimed.

Typical hazard rates are increasing functions of time, but constant hazard rates (exponential lifetimes) are possible. Both of these kinds of hazard rates obviously have divergent integrals. A less common scenario (for those who believe that things improve with age, like fine wine does) is a hazard rate that decreases with time but slowly enough that the integral diverges.

Imagine that you are interested in the incidence of (first) marriage for men. To look at the incidence of marriage at age 20, say, you would select a sample of people who are not married at that age and see if they get married within the next year (before they turn 21).

The you could get a rough estimate for

$$P(\mathrm{marry\,\, before\,\, 21}| \mathrm{not\,\, married \,\,at\,\, 20})$$ as the proportion of individuals who got married from your sample of single 20 year olds, i.e. $$\frac{N(\mathrm{married \,\,before \,\,21\,\, and \,\, not\,\,married\,\, at \,\, 20})}{N(\mathrm{not\,\, married\,\, at\,\, 20})}$$

So basically this is just using the definition of conditional probability,

$$P(X|Y) = \frac{P(X,Y)}{P(Y)}.$$ Now imagine we make the age unit smaller and smaller, up to days for example. I.e. what is the incidence of marriage at age of 7300 days? Then you would do the same, but survey all individuals of 7300 days and look who gets married before the end of the day. If $T$ is a random variable age at marriage, then we could write $$P(T \leq 7301)| T \geq 7300) = \frac{P(T \in [7300, 7301))}{P(T \geq 7300)}$$ by the same logic as before.

The hazard would then be the instantaneous probability of marriage at age $t$, for a non-married individual. We can write this as

$$h(t) dt= P(T \in [t, t+dt) | T\geq t) = \frac{P(T \in[t, t+dt))}{P(T \geq t)}$$

$f(x)$ is not the probability of death, but the probability density; the expected number of times you die within the next unit of time if the probability density remained constant during that unit of time.

Notice there is a problem: your probability of dying when you already died before is rather problematic. So it makes more sense to compute the probability of dying conditional on having survived thus far. $1-F(t)$ it the probability of having survived until $t$, so dividing the probabilty density by that probability, will get us the expected number of times we will die within the next unit of time conditional on not having died before. That is the hazard rate.