Является ли дисперсия более фундаментальной концепцией, чем стандартное отклонение?

18

[A] та глубокая дисперсия уровня является более фундаментальной концепцией, чем стандартное отклонение.

Сайт на самом деле не объясняет, почему дисперсия должна быть более фундаментальной, чем стандартное отклонение, но она напомнила мне, что я читал некоторые похожие вещи на этом сайте.

Например, в этом комментарии @ kjetil-b-halvorsen пишет, что «стандартное отклонение хорошо для интерпретации, отчетности. Для развития теории дисперсия лучше».

Я чувствую, что эти претензии связаны, но я действительно не понимаю их. Я понимаю, что квадратный корень из выборочной дисперсии не является объективной оценкой стандартного отклонения популяции, но, безусловно, должно быть нечто большее, чем это.

Может быть, термин "фундаментальный" слишком расплывчат для этого сайта. В этом случае, возможно, мы сможем воплотить в жизнь мой вопрос как вопрос, является ли дисперсия более важной, чем стандартное отклонение с точки зрения развития статистической теории. Почему, почему нет?

variance standard-deviation

— user1205901 - Восстановить Монику
источник

Разве они не одно и то же? Это как 1 + 1 так же, как 2 * 1?

— SmallChess

2

Дисперсия является вторым кумулянтом, . Статья на Википедии кумулянт должна впечатлить кого с тем, как естественно и они важны не только для изучения случайных величин , но и в физике и комбинаторике. Свойство мультилинейности (которое является основополагающим для выполнения расчетов), а также расширение кумулянтов для многомерных распределений, не имеют стандартного отклонения.

κ_{2}

$\kappa_2$

— whuber

16

Ответы Роберта и Бея дают часть истории (то есть моменты, как правило, рассматриваются как основные свойства распределений, а условно стандартное отклонение определяется в терминах второго центрального момента, а не наоборот), но в какой степени эти вещи действительно фундаментальные, отчасти зависит от того, что мы подразумеваем под термином.

Не было бы непреодолимой проблемы, например, если бы наши соглашения пошли другим путем - ничто не мешает нам условно определить некоторую другую последовательность величин вместо обычных моментов, скажем, для (обратите внимание, что $E[(X-\mu)^p]^{1/p}$ $p=1,2,3,...$ $\mu$ вписывается как в последовательность моментов, так и в этот как первый член), а затем определяет моменты - и всевозможные вычисления относительно моментов - в терминах их. Обратите внимание, что все эти величины измеряются в исходных единицах, что является одним преимуществом перед моментами (которые находятся в степени от исходных единиц и поэтому их сложнее интерпретировать). Это сделало бы стандартное отклонение популяции определенной величиной и дисперсией, определенной с точки зрения его. $p$

Тем не менее, это сделало бы такие величины, как генерирующая момент функция (или некоторый эквивалент, относящийся к новым величинам, определенным выше), довольно менее «естественным», что сделало бы вещи немного более неловкими (но некоторые соглашения немного похожи на это). Есть некоторые удобные свойства MGF, которые не были бы столь же удобными, как в другом случае.

Более базовым, на мой взгляд (но связанным с ним), является то, что существует ряд базовых дисперсионных свойств , которые более удобны, когда они записаны как свойства дисперсии, чем когда они записаны как свойства стандартного отклонения (например, дисперсия сумм независимых случайные величины - это сумма дисперсий).

Эта аддитивность является свойством, которое не разделяется другими мерами дисперсии, и имеет ряд важных последствий.

[Есть аналогичные отношения между другими кумулянтами, так что это смысл , в котором мы могли бы определить вещи в отношении моментов в целом.]

Все эти причины, возможно, либо условны, либо удобны, но в какой-то степени это вопрос точки зрения (например, с некоторых точек зрения моменты являются довольно важными величинами, с других они не так уж и важны). Может случиться так, что бит «на глубоком уровне» подразумевает не что иное, как слова Къетила «при разработке теории».

Я бы согласился с тем, что Къетил поднял в своем вопросе; до некоторой степени этот ответ - просто волнистое обсуждение этого.

— Glen_b - Восстановить Монику
источник

Я бы сказал, что оба находятся в равных условиях, каждый со своим набором сопутствующих удобств.

— JM не статистика

2

Дисперсия определяется первым и вторым моментами распределения. Напротив, стандартное отклонение больше похоже на «норму», чем на мгновение. Моменты являются фундаментальными свойствами распределения, тогда как нормы - это просто способы провести различие.

2

Дисперсия является более фундаментальной, чем стандартное отклонение, потому что стандартное отклонение определяется как «квадратный корень отклонения», например, его определение полностью зависит от отклонения.

С другой стороны, дисперсия определяется - совершенно независимо - как «ожидание квадрата разницы между выборкой и средним».

— Роберт де Грааф
источник

3

Я бы воспринял это скорее как отчет о том, как мы (часто) используем термины, например, в преподавании, а не как размышление о том, что является фундаментальным. Вполне возможно ввести стандартное отклонение, не упоминая дисперсию (пока), и многие тексты и курсы делают это точно так же, как вы можете говорить о теореме Пифагора без необходимости использовать какие-либо специальные имена для квадратов величин. Исторически сложилось так, что термин «дисперсия» в его статистическом смысле устарел от стандартного отклонения, поэтому даже эта форма слов была невозможна в течение нескольких десятилетий.

— Ник Кокс

Я узнал о стандартном отклонении, возникшем как метка перед дисперсией, при попытке сформулировать ответ на удаленный комментарий Глена - в то время, когда я отразил, что тот факт, что старый термин теперь обычно определяется в терминах более нового термина, усилился заявления нового термина о том, что они более фундаментальны, чем ослабляют их.

— Роберт де Грааф

1

Все виды объяснений можно найти. В моем вводном обучении SD (для географов, не все из которых сильны математически), я вообще не использую термин дисперсия . Я быстр, чтобы указать, что SD - естественная мера масштаба для нормальных (гауссовых) распределений, как расстояние между средним и любым перегибом на функции плотности. Я подозреваю, что это больше для моего собственного удовольствия и удовольствия, чем для студентов.

— Ник Кокс

0

$n$ $X$ $\mathrm{Var}[X] = \sigma^2$ $S^2$ $\sigma^2$ $S$ $\sigma$

E [S^{2}] = σ^{2}, E [S] \neq σ,

$\mathrm{E}[S^2] = \sigma^2\,,\ \mathrm{E}[S]\neq \sigma\,,$

— StijnDeVuyst
источник

2

n

$n$

n - 1

$n - 1$

V a r []

$\mathrm{Var}[]$

V a r [\sum_{i} X_{i}] = \sum_{i} V a r [X_{i}]

$\mathrm{Var}[\sum_i X_i] = \sum_i \mathrm{Var}[X_i]$

X_{i}

$X_i$

— StijnDeVuyst

1

Действительно, аддитивность независимых дисперсий является фундаментальным свойством, но это не ваш аргумент.

— Ник Кокс

Возможно, интересно то, что, как и в случае со средним значением, вы можете построить несмещенную оценочную дисперсию без указания конкретного распределения (несмещенные оценки стандартного отклонения зависят от распределения.)

— Scortchi - Восстановить Монику