Как добавить две зависимые случайные величины?

Я знаю, я не могу использовать свертку. У меня есть две случайные величины A и B, и они зависят. Мне нужна Распределительная функция A + B

random-variable non-independent

— Mesko
источник

Если A и B являются зависимыми, то для получения распределения A + B требуется совместное распределение A и B.

— vinux

Я не понимаю ваш вопрос. Что вы знаете и почему вы не можете использовать свертку?

— Сиань

Я знаю, что функции распределения A и B. f A и B - две независимые непрерывные случайные величины, тогда я могу найти распределение Z = A + B, взяв свертку f (A) и g (B): h ( z) = (f ∗ g) (z) = ∫∞ − ∞f (A) g (z − B) dA Но что я могу сделать, если они не независимы? Извините, если это тупой вопрос.

— Меско

Это не глупый вопрос, Меско, но люди обращают внимание на то, что ему нужно больше информации. Ответ зависит от того, как

не могут быть независимыми. Полное описание этого дано совместным распределением

, о чем просит vinux. Сиань прощупывает немного деликатнее, но на самом деле ищет такую же информацию, чтобы помочь вам добиться прогресса.

A

$A$

B

$B$

A

$A$

B

$B$

— whuber

Ответы:

Как указывает Vinux, нужно совместное распределение и , и из ответа О.П. Меско «Я знаю распределительную функцию A и B» не очевидно, что он говорит, что знает совместное распределение A и B: он может хорошо бы сказать, что он знает предельные распределения A и B. Однако, предполагая, что Mesko действительно знает совместное распределение, ответ дается ниже. $A$ $B$

Из интеграла свертки в комментарии О. П. Меско (что, кстати, неправильно) можно сделать вывод, что Меско интересуется совместно непрерывными случайными величинами и с совместной функцией плотности вероятности . В этом случае $A$ $B$ $f_{A,B}(a,b)$ Когдаинезависимы, объединенная функция плотности учитывает произведение функций предельной плотности:

f_{A + B} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (a, z - a) d a = \int_{- \infty}^{\infty} f_{A, B} (z - b, b) d b .

$f_{A+B}(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(a,z-a) \mathrm da = \int_{-\infty}^{\infty} f_{A,B}(z-b,b) \mathrm db.$

A

$A$

B

$B$

f_{A, B} (a, z - a) = f_{A} (a) f_{B} (z - a)

$f_{A,B}(a,z-a)=f_{A}(a)f_{B}(z-a)$ и мы получаем более знакомую формулу свертки для независимых случайных величин. Аналогичный результат применим и для дискретных случайных величин.

$A$ $B$ $F_{A+B}(z)$ $A+B$ $\{(a,b) \colon a+b \leq z\}$ $F_{A+B}(z)$

— Дилип Сарватэ
источник

Это связано с моим комментарием и ответом на другой вопрос, касающийся совместной рассылки несколько дней назад.

— Сиань

Предварительно я не знаю, правильно ли то, что я говорю, но я застрял в той же проблеме и попытался решить ее следующим образом:

f_{A, B} (a, b) = (a + b) H (a, b) H (- a + 1, - b + 1)

$f_{A,B}(a,b)=(a+b) H(a,b) H(-a+1,-b+1)$

f_{A, B} (a, b) = (a + b) (H (a) - H (a - 1)) (H (b) - H (b - 1))

$f_{A,B}(a,b)=(a+b)(H(a)-H(a-1))(H(b)-H(b-1))$

Это вольфрам rapresentation сустава:

Вычисление интеграла у меня есть: B

На графике: C

f (z) = {\begin{matrix} z^{2} f o r 0 \leq z \leq 1 \\ 1 - (z - 1)^{2} f o r 1 \leq z \leq 2 \\ 0 o t h e r w i s e \end{matrix}

$f(z)=\left\{\begin{matrix} z^2 \qquad \qquad \; \quad for \quad 0\leq z \leq1\\ 1-(z-1)^2 \quad for \quad 1\leq z \leq 2 \\ 0 \qquad \quad \; otherwise \end{matrix}\right.$

— R.Lac
источник

Вопрос не казался достаточно конкретным о совместном распространении, чтобы получить ответ. Как ты с этим придумал.?

— Майкл Р. Черник

+1 за правильное решение предполагаемого контрпримера в ответе @ cdlg и показ того, что вычисления, если они выполнены правильно , дают правильный ответ, а не ошибочные результаты в ответе cdlg. Я не могу поверить, что этот ответ получил два отзыва.

— Дилип Сарвейт