Если , то, для . Трудно вычислитьP ( X = k ) = λ k e - λ / k ! k ≥ 0Икс∼ Пуа ( λ )п( Х= k ) = λКе- λ/ к!k ≥ 0
E [ X n _ ] X n _ = X ( X - 1 ) ⋯ ( X - n + 1 ) E [ X n _ ] = λ н . X 1 , ⋯ , X N Pois
Е[ XN] = ∑k ≥ 0КNп( Х= к ) ,
но гораздо проще вычислить , где :
Вы можете доказать это Самостоятельно - это легкое упражнение. Также я позволю вам доказать следующее: если обозначены как , то следовательно,
Пусть . Это следует из того
Е[ XN--]ИксN--= Х( Х- 1 ) ⋯ ( X- n + 1 )Е[ XN--] = λN,
Икс1, ⋯ , XNU = ∑ i X i ∼ Pois ( N λ ) E [ U n _ ] = ( N λ ) n = N n λ nPois ( λ )U= ∑яИкся∼ Pois ( Nλ )Z n = U n _ / N nЕ[ UN--] = ( Nλ )N= NNλNа такжеЕ[ UN--/ NN] = λN,
ZN= UN--/ NN
- X 1 … X NZn являются функциями ваших измерений , ,X1…XN
- E[Zn]=λn ,
Так какмы можем сделать вывод, чтоeλ=∑n≥0λn/n!
W=∑n≥0Zn/n! E[W]=eλWU∈N0Un_=0n>UZn=0n>U
E[∑n≥0Znn!]=∑n≥0λnn!=eλ,
следовательно, ваша непредвзятая оценка, Т.е. . Однако, чтобы вычислить , необходимо оценить сумму , которая кажется бесконечной, но заметим , что , следовательно для . Отсюда следует, что при , поэтому сумма конечна.
W=∑n≥0Zn/n!E[W]=eλWU∈N0Un––=0n>UZn=0n>U
Мы можем видеть, что, используя этот метод, вы можете найти объективную оценку для любой функции которая может быть выражена как .f ( λ ) = ∑ n ≥ 0 a n λ nλf(λ)=∑n≥0anλn