Я изучаю лекционные заметки Ларри Вассермана по статистике, в которых в качестве основного текста используются Казелла и Бергер. Я работаю над его комплектом лекций 2 и застрял в выводе леммы, используемой в неравенстве Хеффдинга (стр. 2-3). Я воспроизводлю доказательства в примечаниях ниже, и после доказательства я укажу, где я застрял.
лемма
Предположим, что и что . Тогда .≤ х ≤ б Е ( е т Х ) ≤ е т 2 ( б - ) 2 / 8
доказательство
Поскольку , мы можем записать как выпуклую комбинацию и , а именно где . По выпуклости функции имеем
Возьмите ожидания обеих сторон и используйте факт чтобы получить
где , и . Обратите внимание, что . Также для всех u> 0 .g ( u ) = - γ u + log ( 1 - γ + γ e u ) γ = - a / ( b - a ) g ( 0 ) = g
По теореме Тейлора существует такой, что
Следовательно , .
Я мог бы следовать доказательствам до
но я не могу понять, как получить .