Есть ли другая интерпретация для гамма-распределения с нецелым параметром формы?

Хорошо известно, что случайная величина, являющаяся гамма-распределением с параметром целочисленной формы $k$ , эквивалентна сумме квадратов $k$ нормально распределенных случайных величин.

Но что я могу сказать о гамма-распределенной случайной переменной с нецелым $k$ ? Есть ли вообще какая-то другая интерпретация, кроме гамма-распределения?

probability gamma-distribution

— stollenm
источник

Гамма с параметром формы

k / 2

$k/2$ является суммой квадратов

k

$k$ нормально распределенных случайных величин. Гамма с параметром формы

k

$k$ является суммой

k

$k$ iid экспоненциальных распределений.

— Greenparker

Еще одна интерпретация гаммы с целым числом

: это время ожидания до

го прибытия в одномерном пуассоновском процессе с интенсивностью

k

$k$

k

$k$

1 / θ

$1/\theta$

— Стефан Коласса

Если и независимы, то В частности, если , оно распределяется с такое же распределение, как $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $Y\sim{\cal G}(\beta,1)$

Икс + Y ~ г (α + β, 1)

$X+Y\sim{\cal G}(\alpha+\beta,1)$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

для любого

. (Это свойство называетсябесконечной делимостью.) Это означает, что если

когда

не является целым числом,

имеет такое же распределение, что и

причем

зависит от

{Икс}_{1} + \dots + {Икс}_{N} ~ г (α, 1) {Икс}_{я} \overset{н.о.р.}{~} г (α / N, 1)

$X_1+\cdots+X_n\sim{\cal G}(\alpha,1)\qquad X_i\stackrel{\text{iid}}{\sim}{\cal G}(\alpha/n,1)$

n \in N

$n\in\mathbb N$

X \sim G (α, 1)

$X\sim{\cal G}(\alpha,1)$

α

$\alpha$

X

$X$

Y + Z

$Y+Z$

Z

$Z$

Y

$Y$

Это также означает, что целочисленные формы

имеют особого значения для гаммы.

Y ~ г (⌊ α ⌋, 1) Z ~ г (α - ⌊ α ⌋, 1)

$Y\sim{\cal G}(\lfloor\alpha\rfloor,1)\qquad Z\sim{\cal G}(\alpha-\lfloor\alpha\rfloor,1)$

α

$\alpha$

И наоборот, если с , оно имеет то же распределение, что и когда не зависит от и И, следовательно, распределение инвариантно относительно $X\sim{\cal G}(\alpha,1)$ $\alpha<1$ $YU^{1/\alpha}$ $Y$ $U\sim{\cal U}(0,1)$

Y ~ г (α + 1, 1)

$Y\sim{\cal G}(\alpha+1,1)$

G (α, 1)

${\cal G}(\alpha,1)$

Икс ~ ({Икс}^{'} + ξ) U^{1 / α} Икс, {Икс}^{'} ~ г (α, 1) U ~ U (0, 1) ξ ~ Е (1)

$X \sim (X'+\xi)U^{1/\alpha}\qquad X,X'\sim{\cal G}(\alpha,1)\quad U\sim{\cal U}(0,1)\quad \xi\sim{\cal E}(1)$

— Сиань
источник