Есть ли формула для вычисления медианы?

Есть ли эквивалент средней формулы:

$$\begin{equation} \mathrm{mean} = \cfrac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} X_i \end{equation}$$

для медианы?

Если вы определяете $O_1, O_2, \ldots, O_N$ как отсортированную версию ваших исходных данных $X_1, X_2, \ldots, X_N$ , то медиана определяется как:

$$\mathrm{Median}(\{O_1, O_2, \ldots, O_N\}) = \left\{\begin{array}{ll} O_{(N+1)/2} & \mathrm{if}~N~\mathrm{is~odd} \\ (O_{N/2}+O_{N/2+1})/2 & \mathrm{otherwise}\end{array}\right.$$

Не упорядочивая свои данные, вы можете использовать определение геометрической медианы, чтобы определить медиану в одном измерении:

$$\mathrm{Median}(\{X_1, X_2, \ldots, X_N\}) = \arg\min_{y} \sum_{i=1}^N \big|X_i-y\big|$$

Обратите внимание, что это не обязательно определяет уникальную медиану, когда есть четное количество точек; например, любое число оптимизирует цель с помощью .X = { 2 , 3 , 4 , 5 $y\in[3, 4]$$X = \{2, 3, 4, 5\}$

Альтернативный способ выразить среднее значение - это оценка «наименьших квадратов»:

$$\sum_{i=1}^N (X_i - m)^2$$

Выбор в качестве среднего дает наименьшее значение суммы квадратов ошибок.$m$

Теперь медиана может быть выражена как оценка «наименьших абсолютных отклонений»:

$$\sum_{i=1}^N |X_i - m|$$

Выбор в качестве медианы дает наименьшее значение суммы абсолютных ошибок.$m$

$p_X$$X_1 \cdot X_n$$P_X$

$$median = P_X^{-1}(\frac 1 2)$$

$p(\theta)$$P(\theta)$$\theta$$1/2$$0$