Оценка среднего и st dev усеченной гауссовой кривой без пика

11

Предположим, у меня есть черный ящик, который генерирует данные после нормального распределения со средним m и стандартным отклонением s. Предположим, однако, что всякий раз, когда он выводит значение <0, он ничего не записывает (даже не может сказать, что он вывел такое значение). У нас есть усеченное гауссовское распределение без скачка.

Как я могу оценить эти параметры?

distributions estimation

Я изменил тег с «усеченного гауссова» на «усечение», потому что большинство ответов будут потенциально полезны в ситуациях, связанных с другими дистрибутивами.

— whuber

7

Модель для ваших данных будет:

$y_i \sim N(\mu,\sigma^2) I(y_i > 0)$

Таким образом, функция плотности:

f (y_{i} | -) = \frac{e x p (- \frac{(y_{i} - μ)^{2}}{2 σ^{2}})}{\sqrt{2 π σ} (1 - ϕ (- \frac{μ}{σ}))}

$f(y_i|-) = \frac{exp(-\frac{(y_i-\mu)^2}{2 \sigma^2})}{\sqrt{2 \pi \sigma}\ (1 - \phi(-\frac{\mu}{\sigma}))}$

где,

- стандартный нормальный cdf. $\phi(.)$

Затем вы можете оценить параметры и используя метод максимального правдоподобия или байесовский метод. $\mu$ $\sigma$

3

Как предположил Срикант Вадали, Коэн и Халд решили эту проблему, используя ML (с искателем корней Ньютона-Рафсона) около 1950 года. Еще одна статья - «Оценка в усеченном нормальном распределении» Макса Гальперина, доступная на JSTOR (для тех, у кого есть доступ). Погуглив «усеченную гауссову оценку», вы получите множество полезных хитов.

Подробности представлены в теме, которая обобщает этот вопрос (в основном для усеченных дистрибутивов). См. Оценки максимального правдоподобия для усеченного распределения . Она также может представлять интерес для сравнения оценок максимального правдоподобия для решения максимальной энтропии заданного (с кодом) на Max энтропии Solver в R .

— Whuber
источник

2

Имея техническую границу TB для упрощенный подход Х. Шнайдера очень полезен для вычисления среднего значения и стандартного отклонения усеченного нормального распределения: $a=0$ $\mu_t$ $\sigma_t$

Рассчитайте среднее значение и стандартное отклонение (всю совокупность!) для набора данных: $\mu$ $\sigma$

$\mu = \bar{x}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}x_i$

$\sigma = s = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}$
проверьте, имеет ли техническая граница действительное расстояние до среднего : $TB=a=0$ $\bar{x}$

рассмотрение не является необходимым, если $TB = a$ $\bar{x} \le 3s$
$\omega, P_3(\omega), P_4(\omega)$ $Q(\omega)$

$\omega = \frac{s^2}{(a-\bar{x})^2}$

$P_3(\omega) = 1+5,74050101\omega - 13,53427037\omega^2 + 6,88665552\omega^3$

$P_4(\omega) = -0,00374615 + 0,17462558\omega - 2,87168509\omega^2 + 17,48932655\omega^3 - 11,91716546\omega^4$

$Q(\omega) = \frac{P_4(\omega)}{P_3(\omega)}$
$\omega \le 0,57081$ $\mu_t$ $<0$
$\mu_t$ $\sigma_t$

$\mu_t = \bar{x} + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})$

$\sigma_{t}^{2} = s^2 + Q(\omega) \cdot (a-\bar{x})^2$

Вот и все...

— JFS
источник