Распределение в форме плато?

Я ищу распределение, в котором плотность вероятности быстро уменьшается после некоторой точки, находящейся вдали от среднего значения, или, по моим собственным словам, «распределение в форме плато».

Что-то среднее между гауссовым и униформой.

Возможно, вы ищете распределение, известное под названиями обобщенного нормального (версия 1) , распределения Subbotin или экспоненциального распределения мощности. Он параметризован местоположением , масштабом и формой с pdf$\mu$$\sigma$$\beta$

как вы можете заметить, для оно напоминает распределение Лапласа и сходится к нему, при оно сходится к нормальному, а когда к равномерному распределению.$\beta=1$$\beta=2$$\beta = \infty$

Если вы ищете программное обеспечение, в котором оно реализовано, вы можете проверить normalpбиблиотеку на R (Mineo and Ruggieri, 2005). Что приятно в этом пакете, так это то, что он, помимо прочего, реализует регрессию с обобщенными нормально распределенными ошибками, то есть минимизирует норму .$L_p$

Mineo, AM & Ruggieri, M. (2005). Программный инструмент для экспоненциального распределения мощности: пакет normalp. Журнал статистического программного обеспечения, 12 (4), 1-24.

Комментарий @ StrongBad - действительно хорошее предложение. Сумма равномерного RV и гауссова RV может дать вам именно то, что вы ищете, если правильно выбрать параметры. И это на самом деле имеет довольно хорошее решение в закрытой форме.

PDF этой переменной дается выражением:

- это «радиус» равномерного среднего значения RV. σ - стандартное отклонение среднего значения по Гауссу.$a$$\sigma$

Существует бесконечное количество «платообразных» распределений.

Вы хотели что-то более конкретное, чем «между гауссовой и униформой»? Это несколько расплывчато.

Вот один простой: вы всегда можете прикрепить половину нормальной на каждом конце униформы:

Вы можете контролировать «ширину» униформы относительно шкалы нормали, чтобы иметь более широкие или более узкие плато, предоставляя целый класс распределений, которые включают гауссову и униформу в качестве предельных случаев.

Плотность составляет:

$\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu+w/2)^2} \mathbb{I}_{x\leq \mu-w/2} \\ + \:\frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma}\quad\mathbb{I}_{\mu-w/2< x\leq \mu+w/2} \\ + \frac{h}{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu-w/2)^2} \mathbb{I}_{x > \mu+w/2}$

где $h = \frac{1}{1 + w/(\sqrt{2\pi}\sigma)}$

При для фиксированного w мы приближаемся к униформе на ( µ - w / 2 , µ + w / 2 ), а при w → 0 для фиксированного σ мы приближаемся к N ( µ , σ 2 ) .$\sigma \to 0$$w$$(\mu-w/2,\mu+w/2)$$w \to 0$$\sigma$$N(\mu,\sigma^2)$

Вот несколько примеров (с в каждом случае):$\mu=0$

Мы могли бы, возможно, назвать эту плотность «униформой с гауссовым хвостом».

Смотрите мое распределение "Башня дьявола" здесь [1]:

$f(x) = 0.3334$$|x| < 0.9399$
$f(x) = 0.2945/x^2$$0.9399 \leq |x| < 2.3242$
$f(x) = 0$$2.3242 \leq |x|$

Распределение «слип-платья» еще интереснее.

Распределения, имеющие любую форму, легко создать.

[1]: Westfall, PH (2014)
"Kurtosis as Peakness, 1905 - 2014. RIP"
Am. Стат. 68 (3): 191–195. doi: 10.1080 / 00031305.2014.917055
публичный доступ pdf: http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC4321753/pdf/nihms-599845.pdf

$f(x)$

где:

• $a$
• $k$$k = \frac{a}{\pi} \sin \left(\frac{\pi}{2 a}\right)$

$a$

,

$a$

Еще один ( РЕДАКТИРОВАТЬ : Я упростил это сейчас. РЕДАКТИРОВАТЬ 2 : Я упростил это еще дальше, хотя сейчас картина не отражает это точное уравнение):

$\log(\cosh(x))$$x$

$alpha$$a = 2$$b = 1$

Вот пример кода в R:

f = function(x, a, b, alpha){
  y = log((cosh(2*alpha*pi*a)+cosh(2*alpha*pi*x))/(cosh(2*alpha*pi*b)+cosh(2*alpha*pi*x)))
  y = y/pi/alpha/6
  return(y)
}

fэто наше распространение. Давайте построим это для последовательностиx

plot(0, type = "n", xlim = c(-5,5), ylim = c(0,0.4))
x = seq(-100,100,length.out = 10001L)

for(i in 1:10){
  y = f(x = x, a = 2, b = 1, alpha = seq(0.1,2, length.out = 10L)[i]); print(paste("integral =", round(sum(0.02*y), 3L)))
  lines(x, y, type = "l", col = rainbow(10, alpha = 0.5)[i], lwd = 4)
}
legend("topright", paste("alpha =", round(seq(0.1,2, length.out = 10L), 3L)), col = rainbow(10), lwd = 4)

Консольный вывод:

#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = 1"
#[1] "integral = NaN" #I suspect underflow, inspecting the plots don't show divergence at all
#[1] "integral = NaN"
#[1] "integral = NaN"

И сюжет:

Вы можете изменить aи b, приблизительно, начало и конец склона соответственно, но тогда потребуется дальнейшая нормализация, и я не рассчитал ее (поэтому я использую a = 2и b = 1в сюжете).

Если вы ищете что-то очень простое, с центральным плато и сторонами распределения треугольника, вы можете, например, объединить N распределений треугольника, N в зависимости от желаемого соотношения между плато и спуском. Почему треугольники, потому что их функции выборки уже существуют в большинстве языков. Вы случайным образом сортируете одного из них.

В R это дало бы:

library(triangle)
rplateau = function(n=1){
  replicate(n, switch(sample(1:3, 1), rtriangle(1, 0, 2), rtriangle(1, 1, 3), rtriangle(1, 2, 4)))
}
hist(rplateau(1E5), breaks=200)

Вот симпатичный: продукт двух логистических функций.

(1/B) * 1/(1+exp(A*(x-B))) * 1/(1+exp(-A*(x+B)))

Это дает преимущество не быть кусочным.

B регулирует ширину, а A регулирует крутизну падения. Ниже показаны B = 1: 6 с A = 2. Примечание: я не нашел время, чтобы выяснить, как правильно это нормализовать.